Quel est le facteur commun par regroupement? 6 exemples
Le facteur commun par groupement est une manière de factoriser, par laquelle les termes d'un polynôme sont "groupés" pour créer une forme plus simplifiée du polynôme.
Un exemple de factorisation par groupement est 2 × 2 + 8x + 3x + 12 est égal à la forme factorisée (2x + 3) (x + 4).
Dans la factorisation par regroupement, les facteurs communs entre les termes d'un polynôme sont recherchés et, plus tard, la propriété distributive est appliquée pour simplifier le polynôme; c'est pourquoi, parfois, on l'appelle facteur commun par regroupement.
Étapes à prendre en compte en regroupant
Étape n ° 1
Vous devez être sûr que le polynôme a quatre termes; s'il s'agit d'un trinôme (avec trois termes), il doit être transformé en un polynôme de quatre termes.
Étape n ° 2
Déterminez si les quatre termes ont un facteur commun. Si tel est le cas, le facteur commun doit être extrait et le polynôme réécrit.
Par exemple: 5 × 2 + 10 x + 25x + 5
Facteur commun: 5
5 (x2 + 2x + 5x + 1)
Étape n ° 3
Si le facteur commun des deux premiers termes diffère de celui des deux derniers termes, les termes ayant des facteurs communs doivent être regroupés et le polynôme réécrit.
Par exemple: 5 × 2 + 10 x + 2x + 4
Facteur commun à 5 × 2 + 10 x: 5x
Facteur commun en 2x + 4: 2
5x (x + 2) + 2 (x + 2)
Étape n ° 4
Si les facteurs résultants sont identiques, le polynôme incluant le facteur commun est réécrit une fois.
Par exemple: 5 × 2 + 10 x + 2x + 4
5x (x + 2) + 2 (x + 2)
(5x + 2) (x + 2)
Exemples de factorisation par regroupement
Exemple n ° 1: 6 × 2 + 3x + 20x + 10
C'est un polynôme qui a quatre termes, parmi lesquels il n'y a pas de facteur commun. Cependant, les termes un et deux ont 3x comme facteur commun; tandis que les termes trois et quatre ont 10 comme facteur commun.
En extrayant les facteurs communs de chaque paire de termes, vous pouvez réécrire le polynôme de la manière suivante:
3x (2x + 1) + 10 (2x + 1)
Or, on peut voir que ces deux termes ont un facteur commun: (2x + 1); Cela signifie que vous pouvez extraire ce facteur et réécrire le polynôme à nouveau:
(3x + 10) (2x + 1)
Exemple n ° 2: x2 + 3x + 2x + 6
Dans cet exemple, comme dans le précédent, les quatre termes n'ont pas de facteur commun. Cependant, les deux premiers termes ont x comme facteur commun, alors que dans les deux derniers, le facteur commun est 2.
En ce sens, vous pouvez réécrire le polynôme de la manière suivante:
x (x + 3) + 2 (x + 3)
Maintenant, nous extrayons le facteur commun (x + 3), le résultat sera le suivant:
(x + 2) (x + 3)
Exemple n ° 3: 2y3 + y2 + 8y2 + 4y
Dans ce cas, le facteur commun entre les deux premiers termes est y2, alors que le facteur commun dans les deux derniers est 4y.
Le polynôme réécrit serait le suivant:
y2 (2y + 1) + 4y (2y + 1)
Maintenant, nous extrayons le facteur (2y + 1) et le résultat est le suivant:
(y2 + 4y) (2y + 1)
Exemple n ° 4: 2 × 2 + 17x + 30
Lorsque le polynôme n'a pas quatre termes mais qu'il s'agit d'un trinôme (qui a trois termes), il est possible de factoriser par groupement.
Cependant, il est nécessaire de diviser le terme du support pour avoir quatre éléments.
Dans le trinôme 2 × 2 + 17x + 30, le terme 17x doit être divisé en deux.
Dans les trinômes qui suivent la forme ax2 + bx + c, la règle consiste à trouver deux nombres dont le produit est axcy et dont la somme est égale à b.
Cela signifie que, dans cet exemple, nous avons besoin d’un nombre dont le produit est 2 x 30 = 60 et le nombre total 17. La réponse à cette question est exercice est 5 et 12.
Ensuite, nous réécrivons le trinôme sous la forme d’un polynôme:
2 × 2 + 12x + 5x + 30
Le facteur commun aux x premiers termes est x, alors que le facteur commun aux deux derniers est 6. Le polynôme résultant serait:
x (2x + 5) + 6 (2x +5)
Enfin, nous extrayons le facteur commun dans ces deux termes; Le résultat est le suivant:
(x + 6) (2x + 5)
Exemple n ° 5: 4 × 2 + 13x + 9
Dans cet exemple, vous devez également diviser le moyen terme pour former un polynôme de quatre termes.
Dans ce cas, nous avons besoin de deux nombres dont le produit est 4 x 9 = 36 et dont la somme est égale à 13. En ce sens, les nombres requis sont 4 et 9.
Maintenant, le trinôme est réécrit sous la forme d'un polynôme:
4 × 2 + 4x + 9x + 9
Dans les deux premiers termes, le facteur commun est 4x, alors que dans le dernier, le facteur commun est 9.
4x (x + 1) + 9 (x + 1)
Une fois le facteur commun extrait (x + 1), le résultat sera le suivant:
(4x + 9) (x +1)
Exemple n ° 6: 3 × 3 - 6x + 15x - 30
Dans le polynôme proposé, tous les termes ont un facteur commun: 3. Ensuite, le polynôme est récrit comme suit:
3 (x3 - 2x + 5x -10)
Nous allons maintenant grouper les termes dans les parenthèses et déterminer le facteur commun entre eux. Dans les deux premiers, le facteur commun est x, alors que dans les deux derniers, il est 5:
3 (x2 (x - 2) + 5 (x - 2))
Enfin, le facteur commun (x - 2) est extrait; Le résultat est le suivant:
3 (x2 + 5) (x - 2)
