Quels types d'intégrales existe-t-il?

Les types d’intégrales que nous trouvons dans le calcul sont les suivants: Intégrales indéfinies et Intégrales définies. Bien que les intégrales définies aient beaucoup plus d'applications que les intégrales indéfinies, il est d'abord nécessaire d'apprendre à résoudre des intégrales indéfinies.

L'une des applications les plus intéressantes des intégrales définies est le calcul du volume d'un solide de révolution.

Les deux types d’intégrales ont les mêmes propriétés de linéarité et les techniques d’intégration ne dépendent pas non plus du type d’intégrale.

Mais malgré le fait qu'ils soient très similaires, il y a une différence principale. dans le premier type d'intégrale, le résultat est une fonction (qui n'est pas spécifique), tandis que dans le second type, le résultat est un nombre.

Deux types de base d'intégrales

Le monde des intégrales est très vaste, mais à l'intérieur de celui-ci, nous pouvons distinguer deux types d'intégrales de base, qui ont une grande applicabilité dans la vie quotidienne.

1- Intégrales indéfinies

Si F '(x) = f (x) pour tout x dans le domaine de f, nous dirons que F (x) est un antidérivant, une primitive ou une intégrale de f (x).

D'autre part, observez que (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), ce qui implique que l'intégrale d'une fonction n'est pas unique, car en donnant des valeurs différentes à la constante C, nous obtiendrons différentes les antidérivés.

Pour cette raison, F (x) + C est appelé l'intégrale indéfinie de f (x) et C est appelée constante d'intégration et nous l'écrivons de la manière suivante.

Comme on peut le constater, l'intégrale indéfinie de la fonction f (x) est une famille de fonctions.

Par exemple, si vous souhaitez calculer l'intégrale indéfinie de la fonction f (x) = 3x², vous devez d'abord trouver une primitive de f (x).

Il est facile de remarquer que F (x) = x³ est une primitive, puisque F '(x) = 3x². Par conséquent, on peut conclure que

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- Intégrales définies

Soit y = f (x) une fonction réelle continue dans un intervalle fermé [a, b] et que F (x) soit une primitive de f (x). On l'appelle l'intégrale définie de f (x) entre les limites a et b et le nombre F (b) -F (a), et est notée comme suit

La formule ci-dessus est mieux connue sous le nom de "Théorème fondamental du calcul". Ici, "a" est appelé la limite inférieure et "b", la limite supérieure. Comme vous pouvez le constater, l'intégrale définie d'une fonction est un nombre.

Dans ce cas, si l'intégrale définie de f (x) = 3x² est calculée dans l'intervalle [0, 3], un nombre sera obtenu.

Pour déterminer ce nombre, nous choisissons F (x) = x³ comme antidérivant de f (x) = 3x². Ensuite, nous calculons F (3) -F (0) qui nous donne le résultat 27-0 = 27. En conclusion, l'intégrale définie de f (x) dans l'intervalle [0.3] est 27.

On peut souligner que si G (x) = x³ + 3 est choisi, alors G (x) est un antidérivant de f (x) autre que F (x), mais cela n’affecte pas le résultat puisque G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Pour cette raison, dans les intégrales définies, la constante d'intégration n'apparaît pas.

L'une des applications les plus utiles de ce type d'intégrale est qu'il permet de calculer la surface (volume) d'une figure plane (d'un solide de révolution), d'établir des fonctions appropriées et des limites d'intégration (et un axe de rotation).

Dans les intégrales définies, nous pouvons trouver diverses extensions, comme par exemple les intégrales de ligne, les intégrales de surface, les intégrales incorrectes, les intégrales multiples, entre autres, toutes avec des applications très utiles en sciences et en ingénierie.