Contexte historique de la géométrie analytique

Le contexte historique de la géométrie analytique remonte au XVIIe siècle, lorsque Pierre de Fermat et René Descartes ont défini leur idée fondamentale. Son invention fait suite à la modernisation de l'algèbre et à la notation algébrique de François Viète.

Ce domaine a ses bases dans la Grèce antique, en particulier dans les travaux d'Apollonius et d'Euclide, qui ont eu une grande influence dans ce domaine des mathématiques.

L'idée de base de la géométrie analytique est qu'une relation entre deux variables, de sorte que l'une est fonction de l'autre, définit une courbe.

Cette idée a été développée pour la première fois par Pierre de Fermat. Grâce à ce cadre essentiel, Isaac Newton et Gottfried Leibniz ont pu développer le calcul.

Le philosophe français Descartes a également découvert une approche algébrique de la géométrie, apparemment seule. Le travail de Descartes sur la géométrie apparaît dans son célèbre livre Discourse on Method .

Dans ce livre, il est indiqué que la construction au compas et géométrique des arêtes droites implique l'addition, la soustraction, la multiplication et les racines carrées.

La géométrie analytique représente l'union de deux traditions mathématiques importantes: la géométrie en tant qu'étude de la forme, et l'arithmétique et l'algèbre, qui concernent la quantité ou les nombres. Par conséquent, la géométrie analytique est l'étude du domaine de la géométrie à l'aide de systèmes de coordonnées.

Histoire

Fond de géométrie analytique

La relation entre géométrie et algèbre a évolué au cours de l'histoire des mathématiques, bien que la géométrie ait atteint un degré de maturité plus précoce.

Par exemple, le mathématicien grec Euclid a pu organiser de nombreux résultats dans son livre classique The Elements .

Mais ce sont les anciens Grecs Apollonius de Perga qui ont prédit le développement de la géométrie analytique dans son livre Conics . Il a défini une conique comme l'intersection d'un cône et d'un avion.

En utilisant les résultats d'Euclide dans des triangles et un séchage de cercle similaires, il a trouvé une relation donnée par les distances entre tout point "P" d'une conique et deux droites perpendiculaires, le grand axe d'une conique et la tangente en un point final de l'axe. Apollonius a utilisé cette relation pour déduire les propriétés fondamentales des coniques.

Le développement ultérieur des systèmes de coordonnées en mathématiques n’est apparu que lorsque l’algèbre a mûri grâce aux mathématiciens islamiques et indiens.

Jusqu'à la Renaissance, la géométrie était utilisée pour justifier des solutions aux problèmes algébriques, mais l'algèbre ne pouvait guère contribuer à la géométrie.

Cette situation changerait avec l'adoption d'une notation commode pour les relations algébriques et le développement du concept de fonction mathématique, désormais possible.

XVI siècle

À la fin du XVIe siècle, le mathématicien français François Viète introduisit la première notation algébrique systématique, utilisant des lettres pour représenter des quantités numériques, connues et inconnues.

Il a également développé de puissantes méthodes générales pour travailler les expressions algébriques et résoudre les équations algébriques.

Grâce à cela, les mathématiciens n'étaient pas complètement dépendants des figures géométriques et de l'intuition géométrique pour résoudre des problèmes.

Même certains mathématiciens ont commencé à abandonner le mode de pensée géométrique standard, selon lequel les variables linéaires de longueurs et de carrés correspondent à des surfaces, tandis que le cubique correspond à des volumes.

Les premiers à franchir cette étape furent le philosophe et mathématicien René Descartes et l'avocat et mathématicien Pierre de Fermat.

Fondement de la géométrie analytique

Descartes et Fermat ont indépendamment fondé la géométrie analytique au cours des années 1630, en adoptant l'algèbre de Viète pour l'étude du locus.

Ces mathématiciens ont compris que l'algèbre était un outil de grande puissance en géométrie et ont inventé ce que l'on appelle maintenant la géométrie analytique.

Ils ont fait un pas en avant en surmontant Viète en utilisant des lettres pour représenter des distances variables au lieu de fixes.

Descartes a utilisé des équations pour étudier les courbes définies géométriquement et a souligné la nécessité de prendre en compte les courbes algébriques-graphiques générales des équations polynomiales dans les degrés "x" et "y".

Pour sa part, Fermat a souligné que toute relation entre les coordonnées "x" et "et" détermine une courbe.

À l'aide de ces idées, il restructure les déclarations d'Apollonius sur les termes algébriques et restaure certaines de ses œuvres qui ont été perdues.

Fermat a indiqué que toute équation quadratique dans "x" et "y" peut être placée sous la forme standard de l'une des sections coniques. Malgré cela, Fermat n'a jamais publié ses travaux sur le sujet.

Grâce à ses avancées, ce que Archimède ne pouvait résoudre que très difficilement et pour des cas isolés, Fermat et Descartes pouvaient le résoudre rapidement et pour un grand nombre de courbes (maintenant connues sous le nom de courbes algébriques).

Mais ses idées ne furent généralement acceptées que grâce aux efforts d’autres mathématiciens de la seconde moitié du dix-septième siècle.

Les mathématiciens Frans van Schooten, Florimond de Beaune et Johan de Witt ont contribué à élargir les travaux de Decartes et à ajouter d'importants éléments supplémentaires.

Influence

En Angleterre, John Wallis a popularisé la géométrie analytique. Il a utilisé des équations pour définir les coniques et en déduire leurs propriétés. Bien qu’il utilise librement les coordonnées négatives, c’est Isaac Newton qui a utilisé deux axes obliques pour diviser le plan en quatre quadrants.

Newton et l'Allemand Gottfried Leibniz ont révolutionné les mathématiques à la fin du XVIIe siècle en démontrant de manière indépendante le pouvoir du calcul.

Newton a démontré l’importance des méthodes analytiques en géométrie et son rôle dans le calcul, en affirmant que tout cube (ou toute courbe algébrique du troisième degré) possède trois ou quatre équations standard pour des axes de coordonnées appropriés. Avec l'aide de Newton lui-même, le mathématicien écossais John Stirling l'a testé en 1717.

Géométrie analytique à trois dimensions et plus

Bien que Descartes et Fermat aient suggéré d'utiliser trois coordonnées pour étudier les courbes et les surfaces dans l'espace, la géométrie analytique tridimensionnelle s'est développée lentement jusqu'en 1730.

Les mathématiciens Euler, Hermann et Clairaut ont élaboré des équations générales pour les cylindres, les cônes et les surfaces de révolution.

Par exemple, Euler a utilisé des équations de translation dans l’espace pour transformer la surface quadratique générale, de sorte que ses axes principaux coïncident avec ses axes de coordonnées.

Euler, Joseph-Louis Lagrange et Gaspard Monge ont rendu la géométrie analytique indépendante de la géométrie synthétique (non analytique).