Combien de solutions une équation quadratique a-t-elle?

Une équation quadratique ou une équation du deuxième degré peut avoir zéro, une ou deux solutions réelles, en fonction des coefficients qui apparaissent dans ladite équation.

Si vous travaillez sur des nombres complexes, vous pouvez dire que chaque équation du second degré a deux solutions.

Pour commencer une équation quadratique est une équation de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres réels et x est une variable.

On dit que x1 est une solution de l'équation quadratique précédente si le remplacement de x par x1 satisfait l'équation, c'est-à-dire si a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Si vous avez par exemple l'équation x²-4x + 4 = 0, alors x1 = 2 est la solution puisque (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Au contraire, si x2 = 0 est substitué, on obtient (0) ²-4 (0) + 4 = 4 et comme 4 ≠ 0 alors x2 = 0 n'est pas une solution de l'équation quadratique.

Solutions d'une équation quadratique

Le nombre de solutions d'une équation quadratique peut être séparé en deux cas:

1.- Dans les nombres réels

Lorsque vous travaillez avec des nombres réels, les équations du second degré peuvent avoir:

- Solutions: c'est-à-dire qu'il n'y a pas de nombre réel qui vérifie l'équation du second degré. Par exemple, l'équation donnée par l'équation x² + 1 = 0, il n'y a pas de nombre réel tel que satisfait cette équation, puisque les deux x² sont supérieurs ou égaux à zéro et 1 est plus strict que zéro, de sorte que sa somme sera plus grande strict que zéro.

- Une solution répétée: il existe une seule valeur réelle qui vérifie l'équation du second degré. Par exemple, la seule solution à l'équation x²-4x + 4 = 0 est x1 = 2.

-Deux solutions différentes: il y a deux valeurs qui satisfont l'équation du second degré. Par exemple, x² + x-2 = 0 a deux solutions différentes qui sont x1 = 1 et x2 = -2.

2.- En nombres complexes

Lorsque vous travaillez avec des nombres complexes, les équations du second degré ont toujours deux solutions: z1 et z2, où z2 est le conjugué de z1. De plus, ils peuvent être classés dans:

-Complexes: les solutions sont de la forme z = p ± qi, où p et q sont des nombres réels. Ce cas correspond au premier cas de la liste précédente.

Complexes purs: c'est quand la partie réelle de la solution est égale à zéro, c'est-à-dire que la solution a la forme z = ± qi, où q est un nombre réel. Ce cas correspond au premier cas de la liste précédente.

-Complexes avec une partie imaginaire égale à zéro: est lorsque la partie complexe de la solution est égale à zéro, c'est-à-dire que la solution est un nombre réel. Ce cas correspond aux deux derniers cas de la liste précédente.

Comment sont calculées les solutions d'une équation quadratique?

Pour calculer les solutions d'une équation quadratique, on utilise une formule appelée "le résolveur", qui dit que les solutions d'une équation ax² + bx + c = 0 sont données par l'expression de l'image suivante:

La quantité qui apparaît à l'intérieur de la racine carrée est appelée le discriminant de l'équation quadratique et est notée par la lettre "d".

L'équation quadratique aura:

-Deux solutions réelles si, et seulement si, d> 0.

-Une solution réelle répétée si, et seulement si, d = 0.

- Cinq solutions réelles (ou deux solutions complexes) si et seulement si d <0.

Exemples:

-Les solutions de l'équation x² + x-2 = 0 sont données par:

-L'équation x²-4x + 4 = 0 a une solution répétée qui est donnée par:

-Les solutions de l'équation x² + 1 = 0 sont données par:

Comme on peut le voir dans ce dernier exemple, x2 est le conjugué de x1.