Quelles sont les équations simultanées? (avec exercices résolus)

Les équations simultanées sont ces équations qui doivent être remplies en même temps. Par conséquent, pour avoir des équations simultanées, il faut avoir plus d'une équation.

Lorsque vous avez deux ou plusieurs équations différentes, qui doivent avoir la même solution (ou les mêmes solutions), vous dites que vous avez un système d'équations ou vous dites que vous avez des équations simultanées.

Lorsque vous avez des équations simultanées, il peut arriver qu'elles n'aient pas de solutions communes, une quantité finie ou une quantité infinie.

Équations simultanées

Étant donné deux équations différentes Eq1 et Eq2, le système de ces deux équations est appelé équations simultanées.

Les équations simultanées répondent que si S est une solution de Eq1, alors S est également une solution de Eq2 et vice versa.

Caractéristiques

Lorsqu'il s'agit d'un système d'équations simultanées, vous pouvez avoir 2 équations, 3 équations ou N équations.

Les méthodes les plus couramment utilisées pour résoudre des équations simultanées sont les suivantes: substitution, égalisation et réduction. Il existe également une autre méthode appelée règle de Cramer, très utile pour les systèmes comportant plus de deux équations simultanées.

Un exemple d'équations simultanées est le système

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

On peut noter que x = 0, y = 2 est une solution de Eq1 mais ce n'est pas une solution de Eq2.

La seule solution commune aux deux équations est x = 1, y = 1. C'est-à-dire que x = 1, y = 1 est la solution du système d'équations simultanées.

Exercices résolus

Passez ensuite à la résolution du système d’équations simultanées présenté ci-dessus, par l’intermédiaire des 3 méthodes mentionnées.

Premier exercice

Résoudre le système d'équations Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 en utilisant la méthode de substitution.

La solution

La méthode de substitution consiste à éliminer l'une des inconnues de l'une des équations, puis à la remplacer dans l'autre équation. Dans ce cas particulier, vous pouvez effacer «y» de Eq1 et vous obtenez que y = 2-x.

En substituant cette valeur de «y» dans Eq2, on obtient que 2x- (2-x) = 1. Par conséquent, nous obtenons que 3x-2 = 1, c’est-à-dire que x = 1.

Ensuite, puisque la valeur de x est connue, elle est remplacée par "y" et on obtient y = 2-1 = 1.

Par conséquent, la seule solution du système d'équations simultanées Eq1 et Eq2 est x = 1, y = 1.

Deuxième exercice

Résoudre le système d'équations Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 en utilisant la méthode d'égalisation.

La solution

La méthode d'égalisation consiste à effacer la même question des deux équations, puis à égaliser les équations résultantes.

En supprimant "x" des deux équations, nous obtenons que x = 2-y, et que x = (1 + y) / 2. Maintenant, ces deux équations sont assimilées et nous obtenons que 2-y = (1 + y) / 2, où il s'avère que 4-2y = 1 + y.

En regroupant l'inconnu "y" du même côté, on obtient y = 1. Maintenant que nous connaissons "et", nous procédons à la recherche de la valeur de "x". En substituant y = 1, on obtient que x = 2-1 = 1.

Par conséquent, la solution commune entre les équations Eq1 et Eq2 est x = 1, y = 1.

Troisième exercice

Résoudre le système d'équations Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 en utilisant la méthode de réduction.

La solution

La méthode de réduction consiste à multiplier les équations données par les coefficients appropriés. Ainsi, lors de l’ajout de ces équations, l’une des variables est annulée.

Dans cet exemple particulier, il n'est pas nécessaire de multiplier une équation par un coefficient, il suffit de les additionner. En ajoutant Eq1 plus Eq2, nous obtenons que 3x = 3, à partir duquel nous obtenons que x = 1.

En évaluant x = 1 dans Eq1, nous obtenons que 1 + y = 2, d'où il résulte que y = 1.

Par conséquent, x = 1, y = 1 est la seule solution des équations simultanées Eq1 et Eq2.

Quatrième exercice

Résoudre le système d'équations simultanées Eq1: 2x-3y = 8 et Eq2: 4x-3y = 12.

La solution

Dans cet exercice, aucune méthode particulière n'est requise. Par conséquent, la méthode la plus confortable pour chaque lecteur peut être appliquée.

Dans ce cas, la méthode de réduction sera utilisée. En multipliant Eq1 par -2, on obtient l'équation Eq3: -4x + 6y = -16. Maintenant, ajouter Eq3 et Eq2 donne 3y = -4, donc y = -4 / 3.

Maintenant, en évaluant y = -4 / 3 dans Eq1, nous obtenons que 2x-3 (-4/3) = 8, où 2x + 4 = 8, donc x = 2.

En conclusion, la seule solution du système d'équations simultanées Eq1 et Eq2 est x = 2, y = -4 / 3.

Observation

Les méthodes décrites dans cet article peuvent être appliquées à des systèmes comportant plus de deux équations simultanées.

Plus il y a d'équations et d'inconnues, plus la procédure pour résoudre le système est complexe.

Toute méthode de résolution de systèmes d’équations donnera les mêmes solutions, c’est-à-dire que les solutions ne dépendent pas de la méthode appliquée.