Mouvement pendulaire: pendule simple, mouvement harmonique simple
Un pendule est un objet (idéalement une masse ponctuelle) suspendu par un fil (idéalement sans masse) d'un point fixe qui oscille grâce à la force de gravité, cette mystérieuse force invisible qui, entre autres, reste collée à l'univers.
Le mouvement pendulaire est celui qui se produit dans un objet d'un côté à l'autre, suspendu à une fibre, un câble ou un fil. Les forces qui interviennent dans ce mouvement sont la combinaison de la force de gravité (verticale, vers le centre de la Terre) et de la tension du fil (direction du fil).
C'est ce que font les pendules (d'où son nom) ou les balançoires du terrain de jeu. Dans un pendule idéal, le mouvement oscillatoire se poursuivrait perpétuellement. Dans un vrai pendule, le mouvement finit par s'arrêter avec le temps en raison du frottement avec l'air.
En pensant à un pendule, il est inévitable d'évoquer l'image de l'horloge pendulaire, le souvenir de cette horloge ancienne et imposante de la maison de campagne des grands-parents. Ou peut-être le récit de terreur d'Edgar Allan Poe, The well et le pendule dont la narration est inspirée par l'une des nombreuses méthodes de torture utilisées par l'Inquisition espagnole.
La vérité est que les différents types de pendules ont diverses applications au-delà du temps de mesure, comme par exemple déterminer l'accélération de la gravité dans un lieu donné et même démontrer la rotation de la Terre, à l'instar du physicien français Jean Bernard Léon. Foucault
Le pendule simple et le mouvement vibratoire harmonique simple
Pendule simple
Le pendule simple, bien qu’il s’agisse d’un système idéal, permet de réaliser une approche théorique du mouvement d’un pendule.
Bien que les équations du mouvement d'un pendule simple puissent être quelque peu complexes, la vérité est que, lorsque l'amplitude ( A ) ou le déplacement de la position d'équilibre est faible, il peut être rapproché des équations d'un mouvement harmonique. simple qu’ils ne soient pas excessivement compliqués.
Mouvement harmonique simple
Le simple mouvement harmonique est un mouvement périodique, c'est-à-dire qu'il se répète dans le temps. De plus, il s’agit d’un mouvement oscillatoire dont l’oscillation se produit autour d’un point d’équilibre, c’est-à-dire un point où le résultat net de la somme des efforts appliqués au corps est nul.
De cette manière, une caractéristique fondamentale du mouvement du pendule est sa période ( T ), qui détermine le temps nécessaire pour effectuer un cycle complet (ou une oscillation complète). La période d'un pendule est déterminée par l'expression suivante:
étant, l = la longueur du pendule; et, g = la valeur de l'accélération de la gravité.
Une magnitude liée à la période est la fréquence ( f ), qui détermine le nombre de cycles que le pendule parcourt en une seconde. De cette façon, la fréquence peut être déterminée à partir de la période avec l'expression suivante:
Dynamique du mouvement du pendule
Les forces qui interviennent dans le mouvement sont le poids ou, ce qui est identique, la force de gravité ( P ) et la tension du fil ( T ). La combinaison de ces deux forces est la cause du mouvement.
Alors que la tension est toujours dirigée dans la direction du fil ou de la corde qui relie la masse au point fixe, il n’est donc pas nécessaire de la décomposer; le poids est toujours dirigé verticalement vers le centre de masse de la Terre et il est donc nécessaire de le décomposer en ses composantes tangentielle et normale ou radiale.
La composante tangentielle du poids P t = mg sin θ, tandis que la composante normale du poids est P N = mg cos θ . Ce second est compensé par la tension du fil; La composante tangentielle du poids agissant en tant que force de récupération est donc finalement responsable du mouvement.
Déplacement, vitesse et accélération
Le déplacement d'un mouvement harmonique simple, et donc du pendule, est déterminé par l'équation suivante:
x = A ω cos (t + θ 0 )
où ω = est la vitesse de rotation angulaire; t = est le temps; et, θ 0 = est la phase initiale.
De cette manière, cette équation vous permet de déterminer la position du pendule à tout moment. À cet égard, il est intéressant de souligner certaines relations entre certaines amplitudes du mouvement harmonique simple.
= 2 Π / T = 2 / f
D'autre part, la formule qui régit la vitesse du pendule en fonction du temps est obtenue en déduisant le déplacement en fonction du temps, ainsi:
v = dx / dt = -A sin ( t + θ 0 )
En procédant de la même manière, on obtient l'expression de l'accélération dans le temps:
a = dv / dt = - A ω 2 cos ( t + θ 0 )
Vitesse maximale et accélération
Observant à la fois l'expression de la vitesse et celle de l'accélération, certains aspects intéressants du mouvement du pendule sont appréciés.
La vitesse prend sa valeur maximale dans la position d'équilibre, moment auquel l'accélération est nulle, puisque, comme indiqué précédemment, la force nette est alors nulle.
Au contraire, aux extrêmes du déplacement, c'est l'inverse qui se produit, où l'accélération prend la valeur maximale et la vitesse prend une valeur nulle.
À partir des équations de vitesse et d'accélération, il est facile de déduire à la fois le module de vitesse maximale et le module d'accélération maximal. Il suffit de prendre la valeur maximale possible à la fois pour le sin (t + θ 0 ) et le cos (t + θ 0 ), qui dans les deux cas est 1.
│ v max = A ω
│ a max │ = A ω 2
Le moment où le pendule atteint la vitesse maximale correspond au moment où il passe par le point d'équilibre des forces depuis lors sin (ω t + θ 0 ) = 1 . Au contraire, l'accélération maximale l'atteint aux deux extrémités du mouvement depuis cos (ω t + θ 0 ) = 1
conclusion
Un pendule est un objet facile à concevoir et qui ressemble à un simple mouvement, même si, à la vérité, il est beaucoup plus complexe qu’il ne le semble en arrière-plan.
Cependant, lorsque l'amplitude initiale est faible, son mouvement peut être expliqué par des équations peu compliquées, étant donné qu'il peut être approché avec les équations du mouvement vibratoire harmonique simple.
Les différents types de pendules existants ont des applications différentes pour la vie quotidienne et dans le domaine scientifique.
