Propriétés de l'égalité

Les propriétés d'égalité font référence à la relation entre deux objets mathématiques, des nombres ou des variables. Il est désigné par le symbole «=», qui passe toujours entre ces deux objets. Cette expression est utilisée pour établir que deux objets mathématiques représentent le même objet; dans un autre mot, que deux objets sont la même chose.

Il y a des cas où il est trivial d'utiliser l'égalité. Par exemple, il est clair que 2 = 2. Cependant, lorsqu'il s'agit de variables, il n'est plus trivial et a des utilisations spécifiques. Par exemple, si vous avez y = x et que x = 7, vous pouvez en conclure que y = 7 également.

L'exemple précédent est basé sur l'une des propriétés d'égalité, comme nous le verrons bientôt. Ces propriétés sont indispensables pour résoudre des équations (égalités impliquant des variables), qui jouent un rôle très important en mathématiques.

Quelles sont les propriétés de l'égalité?

Propriété réfléchissante

La propriété de réflexion, dans le cas de l'égalité, indique que chaque nombre est égal à lui-même et est exprimé par b = b pour tout nombre réel b.

Dans le cas particulier de l'égalité, cette propriété semble évidente, mais pas dans un autre type de relation entre nombres. En d'autres termes, toutes les relations de nombres réels ne remplissent pas cette propriété. Par exemple, un tel cas de relation "inférieur à" (<); aucun nombre n'est inférieur à lui-même.

Propriété symétrique

La propriété symétrique pour l'égalité dit que si a = b, alors b = a. Quel que soit l'ordre utilisé dans les variables, celui-ci sera préservé par la relation d'égalité.

Une certaine analogie de cette propriété peut être observée avec la propriété commutative dans le cas de l'addition. Par exemple, en raison de cette propriété, cela équivaut à écrire y = 4 ou 4 = y.

Propriété transitive

La propriété transitive en égalité dit que si a = b et b = c, alors a = c. Par exemple, 2 + 7 = 9 et 9 = 6 + 3; donc, par la propriété transitive nous avons 2 + 7 = 6 + 3.

Une application simple est la suivante: supposons que Julian ait 14 ans et que Mario ait le même âge que Rosa. Si Rosa a le même âge que Julian, quel âge a Mario?

Derrière ce scénario, la propriété transitive est utilisée deux fois. Mathématiquement, il est interprété comme suit: être "un" âge de Mario, "b" l'âge de Rosa et "c" l'âge de Julian. On sait que b = c et c = 14.

Pour la propriété transitive nous avons que b = 14; c'est-à-dire que Rosa a 14 ans. Puisque a = b et b = 14, en utilisant à nouveau la propriété transitive, nous avons a = 14; c'est-à-dire que Mario a également 14 ans.

Propriété uniforme

La propriété uniforme est que, si les deux côtés d'une égalité sont ajoutés ou multipliés par le même montant, l'égalité est préservée. Par exemple, si 2 = 2, alors 2 + 3 = 2 + 3, ce qui est clair, alors 5 = 5. Cette propriété a plus d’utilité pour résoudre une équation.

Par exemple, supposons que l’on vous demande de résoudre l’équation x-2 = 1. Il convient de rappeler que résoudre une équation consiste à déterminer explicitement la ou les variables impliquées, en fonction d'un nombre spécifique ou d'une variable spécifiée précédemment.

En revenant à l'équation x-2 = 1, il faut trouver explicitement combien x vaut. Pour cela, la variable doit être effacée.

On a appris à tort que dans ce cas, le numéro 2 étant négatif, il passe de l'autre côté de l'égalité avec un signe positif. Mais ce n'est pas correct de le dire de cette façon.

Fondamentalement, ce qui est fait est d’appliquer la propriété uniforme, comme nous le verrons plus loin. L'idée est d'effacer "x"; c'est-à-dire, laissez-le tranquille d'un côté de l'équation. Par convention, il est généralement laissé sur le côté gauche.

À cette fin, le nombre que vous souhaitez "éliminer" est -2. La façon de le faire serait d’ajouter 2, puisque -2 + 2 = 0 et x + 0 = 0. Pour ce faire sans altérer l'égalité, la même opération doit être appliquée de l'autre côté.

Cela permet à la propriété uniforme d'être réalisée: comme x-2 = 1, si le nombre 2 est ajouté des deux côtés de l'égalité, la propriété uniforme dit que la même chose n'est pas modifiée. Nous avons ensuite x-2 + 2 = 1 + 2, ce qui revient à dire que x = 3. Avec cela, l'équation serait résolue.

De même, si vous souhaitez résoudre l'équation (1/5) y-1 = 9, vous pouvez utiliser la propriété uniforme comme suit:

Plus généralement, les affirmations suivantes peuvent être faites:

- Si ab = cb, alors a = c.

- Si xb = y, alors x = y + b.

- Si (1 / a) z = b, alors z = a ×

- Si (1 / c) a = (1 / c) b, alors a = b.

Propriété d'annulation

La propriété d'annulation est un cas particulier de propriété uniforme, en particulier si l'on considère les cas de soustraction et de division (qui, au final, correspondent également à l'addition et à la multiplication). Cette propriété traite ce cas séparément.

Par exemple, si 7 + 2 = 9, alors 7 = 9-2. Ou si 2y = 6, alors y = 3 (divisant par deux des deux côtés).

De manière analogue au cas précédent, les déclarations suivantes peuvent être établies via la propriété d'annulation:

- Si a + b = c + b, alors a = c.

- Si x + b = y, alors x = yb.

- Si az = b, alors z = b / a.

- Si ca = cb, alors a = b.

Propriété de remplacement

Si nous connaissons la valeur d'un objet mathématique, la propriété de substitution indique que cette valeur peut être substituée dans n'importe quelle équation ou expression. Par exemple, si b = 5 et a = bx, en substituant la valeur de "b" dans la seconde égalité, nous avons a = 5x.

Un autre exemple est le suivant: si "m" divise "n" et "n" divise "m", alors il faut que m = n.

En effet, dire que "m" divise "n" (ou, de manière équivalente, que "m" est un diviseur de "n") signifie que la division m n'est pas exacte; c'est-à-dire qu'en divisant "m" par "n", vous obtenez un nombre entier et non un nombre décimal. Ceci peut être exprimé en disant qu'il existe un entier "k" tel que m = k × n.

Puisque "n" divise également "m", il existe alors un entier "p" tel que n = p × m. Pour la propriété de substitution, nous avons n = p × k × n et, pour ce faire, il existe deux possibilités: n = 0, auquel cas nous aurions l'identité 0 = 0; op × k = 1, où l'identité n = n devrait être.

Supposons que "n" soit non nul. Alors nécessairement p × k = 1; donc, p = 1 et k = 1. En utilisant à nouveau la propriété de substitution, en substituant k = 1 à l'égalité m = k × n (ou de manière équivalente, p = 1 sur n = p × m), on obtient finalement que m = n, ce qui était ce que l'on voulait démontrer.

Propriété du pouvoir en égalité

Comme on l'a vu précédemment, si une opération est effectuée sous forme de somme, multiplication, soustraction ou division dans les deux termes d'une égalité, elle est préservée, de la même manière que d'autres opérations ne modifiant pas l'égalité peuvent être appliquées.

La clé est de toujours le faire des deux côtés de l'égalité et de s'assurer à l'avance que l'opération peut être effectuée. Tel est le cas de l'autonomisation; c'est-à-dire que si les deux côtés d'une équation sont élevés au même pouvoir, il y a toujours une égalité.

Par exemple, comme 3 = 3, alors 32 = 32 (9 = 9). En général, étant donné un entier "n", si x = y, alors xn = yn.

Propriété de la racine dans une égalité

Ceci est un cas particulier de potentialisation et est appliqué lorsque la puissance est un nombre rationnel non entier, tel que ½, qui représente la racine carrée. Cette propriété indique que si la même racine est appliquée des deux côtés d'une égalité (dans la mesure du possible), l'égalité est préservée.

Contrairement au cas précédent, vous devez faire attention ici à la parité de la racine à appliquer, car il est bien connu que la paire de racines d’un nombre négatif n’est pas bien définie.

Dans le cas où le radical est égal, il n'y a pas de problème. Par exemple, si x3 = -8, même s'il s'agit d'une égalité, vous ne pouvez pas appliquer de racine carrée des deux côtés, par exemple. Cependant, si vous pouvez appliquer une racine cubique (ce qui est encore plus pratique si vous souhaitez connaître explicitement la valeur de x), vous obtiendrez que x = -2.