Quelle est la somme des carrés de deux nombres consécutifs?

Pour savoir quelle est la somme des carrés de deux nombres consécutifs, vous pouvez trouver une formule, avec laquelle il suffit de substituer les nombres impliqués pour obtenir le résultat.

Cette formule peut être trouvée de manière générale, c'est-à-dire qu'elle peut être utilisée pour toute paire de nombres consécutifs.

Lorsque vous dites "numéros consécutifs", vous dites implicitement que les deux nombres sont des nombres entiers. Et lorsqu'il parle de "carrés", il parle de la quadrature de chaque chiffre.

Par exemple, si les nombres 1 et 2 sont pris en compte, leurs carrés sont 1² = 1 et 2² = 4, donc la somme des carrés est 1 + 4 = 5.

Par contre, si les nombres 5 et 6 sont pris, leurs carrés sont 5² = 25 et 6² = 36, la somme des carrés étant donc 25 + 36 = 61.

Quelle est la somme des carrés de deux nombres consécutifs?

L'objectif est maintenant de généraliser ce qui a été fait dans les exemples précédents. Pour cela, il est nécessaire de trouver une manière générale d'écrire un nombre entier et son entier consécutif.

Si deux nombres entiers consécutifs sont observés, par exemple 1 et 2, on peut voir que 2 peut être écrit comme 1 + 1. De plus, si nous examinons les nombres 23 et 24, nous concluons que 24 peut être écrit 23 + 1.

Pour les entiers négatifs, ce comportement peut également être vérifié. En effet, si vous considérez -35 et -36, vous pouvez voir que -35 = -36 + 1.

Par conséquent, si un nombre entier "n" est choisi, le nombre entier consécutif à "n" est "n + 1". Ainsi, une relation entre deux entiers consécutifs a déjà été établie.

Quelle est la somme des carrés?

Étant donné deux nombres entiers consécutifs "n" et "n + 1", leurs carrés sont "n²" et "(n + 1) ²". En utilisant les propriétés de produits remarquables, ce dernier terme peut être écrit comme suit:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1 .

Enfin, la somme des carrés des deux nombres consécutifs est donnée par l'expression:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1 .

Si la formule précédente est détaillée, on constate qu'il suffit de connaître le plus petit entier "n" pour connaître la somme des carrés, c'est-à-dire qu'il suffit d'utiliser le plus petit des deux entiers.

Une autre perspective de la formule obtenue est la suivante: les nombres choisis sont multipliés, puis le résultat obtenu est multiplié par 2 et finalement, 1 est ajouté.

Par contre, le premier sommet à droite est un nombre pair, et si vous ajoutez 1, le résultat sera impair. Ceci dit, le résultat de l'ajout des carrés de deux nombres consécutifs sera toujours un nombre impair.

On peut aussi souligner que puisque deux nombres carrés sont ajoutés, ce résultat sera toujours positif.

Des exemples

1.- Considérons les entiers 1 et 2. Le plus petit entier est 1. En utilisant la formule précédente, on conclut que la somme des carrés est: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Ce qui est en accord avec les comptes faits au début.

2.- Si les entiers 5 et 6 sont pris, alors la somme des carrés sera 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, ce qui coïncide également avec le résultat obtenu au début.

3.- Si les entiers -10 et -9 sont choisis, alors la somme de leurs carrés est: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Laissez les entiers dans cette opportunité -1 et 0, alors la somme de leurs carrés est donnée par 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.