Classification des nombres réels
La classification principale des nombres réels est divisée en nombres naturels, nombres entiers, nombres rationnels et nombres irrationnels. Les vrais nombres sont représentés avec la lettre R.
Différents nombres réels peuvent être construits ou décrits de différentes manières, allant de formes simples à des formes plus complexes, en fonction du travail mathématique que vous souhaitez effectuer.
Comment sont classés les nombres réels?
Nombres naturels
Ce sont les nombres utilisés pour compter, tels que "il y a quatre fleurs dans le verre".
Certaines définitions commencent les nombres naturels par 0, alors que d'autres commencent par 1. Les nombres naturels sont ceux utilisés pour compter: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... etc; Ils sont utilisés comme nombres ordinaux ou cardinaux.
Les nombres naturels sont les bases avec lesquelles de nombreux autres ensembles de nombres peuvent être construits par extension: entiers, nombres rationnels, nombres réels et nombres complexes, entre autres.
Ces chaînes d'extension constituent les nombres naturels identifiés canoniquement dans les autres systèmes de numération.
Les propriétés des nombres naturels, telles que la divisibilité et la distribution des nombres primaires, sont étudiées en théorie des nombres.
Les problèmes liés au comptage et au classement, tels que les énumérations et le partitionnement, sont étudiés en combinatoire.
Dans le langage courant, comme dans les écoles primaires, les nombres naturels peuvent être appelés nombres comptables pour exclure les entiers négatifs et zéro.
Ils ont plusieurs propriétés, telles que: addition, multiplication, soustraction, division, etc.
Des nombres entiers
Les nombres entiers sont les nombres qui peuvent être écrits sans composant fractionnaire. Par exemple: 21, 4, 0, -76, etc. D'autre part, les nombres tels que 8.58 ou √2 ne sont pas des nombres entiers.
On peut dire que les nombres entiers sont des nombres complets ainsi que des nombres négatifs de nombres naturels. Ils sont utilisés pour exprimer l'argent qui est dû, les profondeurs par rapport au niveau de la mer ou à une température inférieure à zéro, pour ne nommer que quelques utilisations.
Un ensemble d’entiers comprend zéro (0), des nombres naturels positifs (1, 2, 3 ...) et des entiers négatifs (-1, -2, -3 ...). Généralement, on parle de ZZ ou de Z (Z) en gras.
Z est un sous-ensemble du groupe de nombres rationnels Q, qui forment à leur tour le groupe de nombres réels R. Comme les nombres naturels, Z est un groupe dénombrable infini.
Les nombres entiers forment le plus petit groupe et le plus petit ensemble de nombres naturels. Dans la théorie des nombres algébriques, les entiers sont parfois appelés entiers irrationnels pour les distinguer des entiers algébriques.
Nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre quelconque qui peut être exprimé en tant que composante ou fraction de deux entiers p / q, un numérateur p et un dénominateur q. Puisque q peut être égal à 1, chaque nombre entier est un nombre rationnel.
L'ensemble des nombres rationnels, souvent appelés "les rationnels", est désigné par un Q.
Le développement décimal d'un nombre rationnel se termine toujours après un nombre fini de chiffres ou lorsque la même séquence finie de chiffres est répétée maintes et maintes fois.
De plus, toute décimale répétée ou terminale représente un nombre rationnel. Ces instructions sont vraies non seulement pour la base 10, mais aussi pour toute autre base entière.
Un nombre réel qui n'est pas rationnel est appelé irrationnel. Les nombres irrationnels incluent √2, a π et e, par exemple. Étant donné que l'ensemble des nombres à évaluer est dénombrable et que le groupe des nombres réels ne l'est pas, on peut dire que presque tous les nombres réels sont irrationnels.
Les nombres rationnels peuvent être définis formellement comme des classes d'équivalences de paires d'entiers (p, q), de sorte que q ≠ 0 ou la relation équivalente définie par (p1, q1) (p2, q2) uniquement si p1, q2 = p2q1.
Les nombres rationnels, ainsi que les additions et les multiplications, forment des champs qui constituent des nombres entiers et sont contenus dans toute branche contenant des entiers.
Nombres irrationnels
Les nombres irrationnels sont tous des nombres réels qui ne sont pas des nombres rationnels; Les nombres irrationnels ne peuvent pas être exprimés sous forme de fractions. Les nombres rationnels sont les nombres composés de fractions de nombres entiers.
En conséquence de la preuve de Cantor selon laquelle tous les nombres réels sont indénombrables et que les nombres rationnels sont dénombrables, on peut en conclure que presque tous les nombres réels sont irrationnels.
Lorsque le rayon de longueur de deux segments est un nombre irrationnel, on peut dire que ces segments sont incommensurables; ce qui signifie qu'il n'y a pas une longueur suffisante pour que chacun d'eux puisse être "mesuré" avec un multiple entier particulier de celui-ci.
Parmi les nombres irrationnels sont le rayon π d'une circonférence d'un cercle à son diamètre, le nombre d'Euler (e), le nombre d'or () et la racine carrée de deux; plus encore, toutes les racines carrées des nombres naturels sont irrationnelles. La seule exception à cette règle concerne les carrés parfaits.
On peut observer que lorsque des nombres irrationnels sont exprimés en position dans un système numérique (par exemple, en nombres décimaux), ils ne finissent pas ou ne se répètent pas.
Cela signifie qu'ils ne contiennent pas une séquence de chiffres, la répétition par laquelle une ligne de représentation est faite.
Par exemple: la représentation décimale du nombre π commence par 3.14159265358979, mais il n’existe pas de nombre fini de chiffres pouvant représenter π de manière exacte et ne pouvant pas être répété.
La preuve que l'expansion décimale d'un nombre rationnel doit se terminer ou être répétée diffère de la preuve qu'une extension décimale doit être un nombre rationnel; Bien que basiques et un peu longs, ces tests demandent du travail.
En général, les mathématiciens ne prennent généralement pas la notion de "fin ou de répétition" pour définir le concept d'un nombre rationnel.
Les nombres irrationnels peuvent également être traités via des fractions non continues.
