Homothétie: propriétés, types et exemples
L' homothétie est un changement géométrique dans le plan où, à partir d'un point fixe appelé centre (O), les distances sont multipliées par un facteur commun. Ainsi, chaque point P correspond à un autre point P 'produit de la transformation, et ceux-ci sont alignés sur le point O.
Ensuite, l'homothétie est une correspondance entre deux figures géométriques, où les points transformés sont appelés homothétiques, et ceux-ci sont alignés sur un point fixe et sur des segments parallèles l'un à l'autre.
Homothétie
L'homothétie est une transformation qui n'a pas d'image congruente car, à partir d'une figure, on obtient une ou plusieurs figures de taille supérieure ou inférieure à la figure d'origine. c'est-à-dire que l'homothétie transforme un polygone en un autre similaire.
Pour que l'homothétie soit remplie, elle doit correspondre point par point et droite à droite, de sorte que les paires de points homologues soient alignées sur un troisième point fixe, qui est le centre de l'homothétie.
De même, les paires de lignes qui les joignent doivent être parallèles. La relation entre ces segments est une constante appelée le ratio d'homothétie (k); de telle sorte que l'homothétie puisse être définie comme:
Pour effectuer ce type de transformation, nous commençons par choisir un point arbitraire, qui sera le centre de l'homothétie.
À partir de ce point, des segments de ligne sont dessinés pour chaque sommet de la figure à transformer. L'échelle à laquelle est reproduite la nouvelle figure est donnée par le rapport de l'homothétie (k).
Propriétés
Une des propriétés principales de l'homothétie est que, pour la raison de l'homothétie (k), toutes les figures homothétiques sont similaires. Parmi les autres propriétés remarquables sont les suivantes:
- le centre de l'homothétie (O) est le seul double point qui devient lui-même; c'est-à-dire que cela ne varie pas.
- Les lignes qui passent par le centre se transforment elles-mêmes (elles sont doubles), mais les points qui le composent ne sont pas doubles.
- Les lignes qui ne passent pas par le centre sont transformées en lignes parallèles; de cette façon, les angles de l'homothétie restent les mêmes.
- L'image d'un segment par une homothétie de centre O et de rapport k, est un segment parallèle à celui-ci et a k fois sa longueur. Par exemple, comme le montre l'image suivante, un segment AB d'homothétique aboutira à un autre segment A'B ', de sorte que AB sera parallèle à A'B' et que k sera:
- Les angles homothétiques sont congruents; c'est-à-dire qu'ils ont la même mesure. Par conséquent, l'image d'un angle est un angle qui a la même amplitude.
En revanche, l'homothétie varie en fonction de la valeur de son rapport (k), et les cas suivants peuvent se produire:
- Si la constante k = 1, tous les points sont fixes car ils se transforment. Ainsi, la figure homothétique coïncide avec l'original et la transformation sera appelée fonction d'identité.
- Si k ≠ 1, le seul point fixe sera le centre de l'homothétie (O).
- Si k = -1, l'homothétie devient une symétrie centrale (C); c'est-à-dire qu'une rotation autour de C se produira sous un angle de 180o.
- Si k> 1, la taille de la figure transformée sera plus grande que la taille de l'original.
- Si 0 <k <1, la taille de la figure transformée sera inférieure à celle de l'original.
- Si -1 <k <0, la taille de la figure transformée sera plus petite et sera tournée par rapport à l'original.
- Si k <-1, la taille de la figure transformée sera plus grande et pivotée par rapport à l'original.
Types
L'homothétie peut également être classée en deux types, en fonction de la valeur de son rapport (k):
Homothétie directe
Cela arrive si la constante k> 0; c'est-à-dire que les points homothétiques sont du même côté par rapport au centre:
Le facteur de proportionnalité ou le rapport de similarité entre les chiffres homothétiques directs sera toujours positif.
Homothétique inverse
Cela arrive si la constante k <0; c'est-à-dire que les points initiaux et leurs homothétiques sont situés aux extrémités opposées par rapport au centre de l'homothétie mais alignés sur celui-ci. Le centre sera entre les deux chiffres:
Le facteur de proportionnalité ou le rapport de similarité entre les chiffres inverses homothétiques sera toujours négatif.
La composition
Lorsque plusieurs mouvements sont effectués successivement jusqu'à l'obtention d'un chiffre égal à l'original, une composition de mouvements se produit. La composition de plusieurs mouvements est aussi un mouvement.
La composition entre deux homothèques donne naissance à de nouveaux homothèques; c'est-à-dire que nous avons un produit homothétique dans lequel le centre sera aligné sur le centre des deux transformations d'origine, et le rapport (k) est le produit des deux raisons.
Ainsi, dans la composition de deux homothéties H 1 (O 1, k 1 ) et H 2 (O 2, k 2 ), la multiplication de leurs rapports: k 1 x k 2 = 1 donnera une homothétie de rapport k 3 = k 1 x k 2 Le centre de cette nouvelle homothétie (O 3 ) sera situé sur la ligne O 1 O 2 .
L'homothétie correspond à un changement plat et irréversible; si on applique deux homothèques ayant le même centre et le même ratio mais avec un signe différent, on obtient le chiffre original.
Des exemples
Premier exemple
Appliquez une homothétie au polygone central donné (O), situé à 5 cm du point A et dont le rapport est k = 0, 7.
La solution
Tout point est choisi comme centre de l'homothétie et de ce rayon sont tirés par les sommets de la figure:
La distance du centre (O) au point A est OA = 5; avec ceci, vous pouvez déterminer la distance de l’un des points homothétiques (OA ') en sachant que k = 0, 7:
OA '= kx OA.
OA '= 0, 7 x 5 = 3, 5.
Le processus peut être effectué pour chaque sommet, ou vous pouvez également dessiner le polygone homothétique en gardant à l'esprit que les deux polygones ont des côtés parallèles:
Enfin, la transformation ressemble à ceci:
Deuxième exemple
Appliquez une homothétie au polygone central donné (O), situé à 8, 5 cm du point C et dont le rapport y k = -2.
La solution
La distance du centre (O) au point C est OC = 8, 5; avec ces données, il est possible de déterminer la distance d'un des points homothétiques (OC '), sachant également que k = -2:
OC '= kx OC.
OC '= -2 x 8, 5 = -17
Après avoir tracé les segments des sommets du polygone transformé, nous avons que les points initiaux et leurs homothétiques sont situés aux extrémités opposées par rapport au centre:
