Vitesse angulaire: définition, formule, comment elle est calculée et exercices résolus

La vitesse angulaire est une mesure de la vitesse de rotation et est définie comme l'angle qui fait pivoter le vecteur de position de l'objet en rotation, par unité de temps. C'est une magnitude qui décrit très bien le mouvement d'une multitude d'objets en rotation constante: CD, roues de voiture, machines, Terre et bien d'autres.

Un schéma de «l'œil de Londres» peut être vu dans la figure suivante. Il représente le mouvement d'un passager représenté par le point P, qui suit la trajectoire circulaire, appelée c:

Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire

La vitesse linéaire v, est le quotient entre la distance parcourue et le laps de temps passé pour la parcourir.

Dans la figure ci-dessus, la trajectoire de l’arc est Δs. Mais cet arc est proportionnel à l'angle parcouru et au rayon, remplissant la relation suivante, valable chaque fois que Δφ est mesuré en radians:

Δs = r · Δφ

Si nous divisons l'expression précédente entre le laps de temps Δt et prenons la limite lorsque Δt 0, nous obtiendrons:

v = r ·

Mouvement de rotation uniforme

De plus, lorsqu'un virage complet est effectué, l'angle parcouru est de 2π (équivalent à 360º). Par conséquent, dans une rotation uniforme, la vitesse angulaire ω est liée à la période T, au moyen de la formule suivante:

f = 1 / T

En d’autres termes, dans une rotation uniforme, la vitesse angulaire est liée à la fréquence par:

= 2π · f

Exercices de vélocité angulaire résolus

Exercice 1

Les cabines de la grande roue en rotation connue sous le nom de " London Eye " se déplacent lentement. La vitesse des cabines est de 26 cm / s et la roue a un diamètre de 135 m.

Avec ces données, calculez:

i) La vitesse angulaire de la roue

ii) La fréquence de rotation

iii) Le temps nécessaire à une cabine pour boucler la boucle.

Réponses:

i) La vitesse v en m / s est la suivante: v = 26 cm / s = 0, 26 m / s.

Le rayon est la moitié du diamètre: r = (135 m) / 2 = 67, 5 m

v = r · => = v / r = (0, 26 m / s) / (67, 5 m) = 0, 00385 rad / s

ii) ω = 2π · f => f = / 2π = (0, 00385 rad / s) / (2π rad) = 6, 13 x 10-4 tours / s

f = 6, 13 x 10 ^ -4 tour / s = 0, 0368 tour / min = 2, 21 tour / heure.

iii) T = 1 / f = 1 / 2, 21 tour / heure = 0, 455311 heure = 27 min 11 s

Exercice 2

Une petite voiture se déplace sur une piste circulaire de 2 m de rayon. À 0 s, sa position angulaire est 0 rad, mais après un temps t, sa position angulaire est donnée par:

(t) = 2 · t

Déterminer:

i) la vitesse angulaire

ii) Vitesse linéaire à tout moment.

Réponses:

i) La vitesse angulaire est la dérivée de la position angulaire: ω = φ '(t) = 2.

C'est-à-dire que la voiture de jouet a à tout moment une vitesse angulaire constante égale à 2 rad / s.

ii) La vitesse linéaire de la voiture est la suivante: v = r · = 2 m · 2 rad / s = 4 m / s = 14, 4 km / h

Exercice 3

La même voiture de l'exercice précédent commence à s'arrêter. Sa position angulaire en fonction du temps est donnée par l'expression suivante:

(t) = 2. t - 0, 5. t2

Déterminer:

i) La vitesse angulaire à tout moment

ii) Vitesse linéaire à tout moment

iii) Le temps qu'il faut pour arrêter à partir du moment où il commence à ralentir

iv) l'angle parcouru

v) distance parcourue

Réponses:

i) La vitesse angulaire est la dérivée de la position angulaire: ω = φ '(t)

(t) = φ '(t) = (2. t - 0, 5. t2)' = 2 - t

ii) La vitesse linéaire de la voiture à tout moment est donnée par:

v (t) = r. ω (t) = 2. (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Le temps qu'il faut pour que l'arrêt s'arrête à partir du moment où il commence à décélérer est déterminé en connaissant l'instant dans lequel la vitesse v (t) devient nulle.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

C'est-à-dire qu'il s'arrête 2 secondes après le début du freinage.

iv) En l'espace de 2s, à partir du moment où il commence à freiner jusqu'à ce qu'il s'arrête, un angle donné par (2) est parcouru:

(2) = 2 · 2 - 0, 5 · 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114, 6 degrés

v) Dans les 2 secondes qui suivent le début du freinage jusqu’à l’arrêt, une distance s est donnée par:

s = r · = 2m · 2 rad = 4 m

Exercice 4

Les roues d'une voiture ont un diamètre de 80 cm. Si la voiture passe à 100 km / h. Trouvez: i) la vitesse angulaire de rotation des roues, ii) la fréquence de rotation des roues, iii) le nombre de tours que la roue effectue en une heure.

Réponses:

i) Convertissons d'abord la vitesse de la voiture en km / jambon / s

v = 100 km / h = (100 / 3, 6) m / s = 27, 78 m / s

La vitesse angulaire de rotation des roues est donnée par:

= v / r = (27, 78 m / s) / (0, 4 m) = 69, 44 rad / s

ii) La fréquence de rotation des roues est donnée par:

f = ω / 2π = (69, 44 rad / s) / (2π rad) = 11, 05 tours / s

La fréquence de rotation est généralement exprimée en tours par minute.

f = 11, 05 tours / s = 11, 05 tours / (1/60) min = 663, 15 tr / min

iii) Le nombre de tours que donne la roue dans un trajet d'une heure est calculé en sachant que 1 heure = 60 minutes et que la fréquence est le nombre de tours N divisé par le temps pendant lequel ces N tours sont donnés.

f = N / t => N = f · t = 663, 15 (tours / min) x 60 min = 39788, 7 tours.