L'importance des mathématiques pour faire face aux situations de la physique
L' importance des mathématiques pour traiter des situations de physique est introduite par la compréhension du fait que les mathématiques sont le langage permettant de formuler des lois empiriques de la nature.
Une grande partie des mathématiques est déterminée par la compréhension et la définition des relations entre les objets. Par conséquent, la physique est un exemple spécifique des mathématiques.
Lien entre mathématiques et physique
Généralement considérés comme une relation très intime, certains mathématiciens ont décrit cette science comme "un outil essentiel pour la physique", et la physique a été décrite comme "une riche source d'inspiration et de connaissances en mathématiques".
Les idées selon lesquelles les mathématiques sont le langage de la nature se retrouvent dans les idées de Pythagore: la conviction que "les nombres dominent le monde" et que "tout est nombre".
Galileo Galilei a également exprimé ces idées: "Le livre de la nature est écrit en langage mathématique".
Il a fallu longtemps dans l’histoire de l’humanité pour que l’on découvre que les mathématiques sont utiles et même vitales pour la compréhension de la nature.
Aristote pensait que les profondeurs de la nature ne pourraient jamais être décrites par la simplicité abstraite des mathématiques.
Galilée a reconnu et utilisé le pouvoir des mathématiques dans l'étude de la nature, ce qui a permis à ses découvertes de commencer la naissance de la science moderne.
Le physicien, dans son étude des phénomènes naturels, a deux méthodes de progression:
- la méthode d'expérimentation et d'observation
- la méthode de raisonnement mathématique.
Mathématiques dans le schéma mécanique
Le schéma mécanique considère l'Univers dans sa totalité comme un système dynamique, soumis aux lois du mouvement qui sont essentiellement du type newtonien.
Le rôle des mathématiques dans ce schéma est de représenter les lois du mouvement à travers des équations.
L'idée dominante dans cette application des mathématiques à la physique est que les équations qui représentent les lois du mouvement doivent être simples.
Cette méthode de simplicité est très restreinte; s'applique fondamentalement aux lois du mouvement, pas à tous les phénomènes naturels en général.
La découverte de la théorie de la relativité a rendu nécessaire la modification du principe de simplicité. La loi de la gravité est probablement l’une des lois fondamentales du mouvement.
Mécanique Quantique
La mécanique quantique nécessite l'introduction dans la théorie physique d'un vaste domaine des mathématiques pures, le domaine complet lié à la multiplication non commutative.
On pourrait s’attendre à l’avenir à ce que la maîtrise des mathématiques pures soit entourée d’avancées fondamentales en physique.
Mécanique statique, systèmes dynamiques et théorie ergodique
Un exemple plus avancé qui démontre la relation profonde et fructueuse entre la physique et les mathématiques est que la physique peut éventuellement développer de nouveaux concepts, méthodes et théories mathématiques.
Cela a été démontré par le développement historique de la mécanique statique et de la théorie ergodique.
Par exemple, la stabilité du système solaire était un vieux problème étudié par de grands mathématiciens depuis le 18ème siècle.
C’est l’une des principales motivations de l’étude des mouvements périodiques dans les systèmes de corps, et plus généralement dans les systèmes dynamiques, notamment grâce aux travaux de Poincaré sur la mécanique céleste et aux investigations de Birkhoff sur les systèmes dynamiques généraux.
Equations différentielles, nombres complexes et mécanique quantique
Il est bien connu que, depuis l’époque de Newton, les équations différentielles constituaient l’un des principaux liens entre les mathématiques et la physique, entraînant à la fois des développements importants en matière d’analyse et de formulation cohérente et fructueuse des théories physiques.
Il est peut-être moins connu que la plupart des concepts importants de l'analyse fonctionnelle trouvent leur origine dans l'étude de la théorie quantique.
