Théorème de Bernoulli: équation de Bernoulli, applications et exercices résolus
Le théorème de Bernoulli, qui décrit le comportement d'un fluide en mouvement, a été énoncé par le mathématicien et physicien Daniel Bernoulli dans son ouvrage Hydrodynamics . Selon le principe, un fluide idéal (sans frottement ni viscosité) mis en circulation par un conduit fermé aura une énergie constante sur son trajet.
Le théorème peut être déduit du principe de conservation de l'énergie et même de la deuxième loi du mouvement de Newton. En outre, le principe de Bernoulli stipule également qu'une augmentation de la vitesse d'un fluide signifie une diminution de la pression à laquelle il est soumis, une diminution de son énergie potentielle ou les deux à la fois.
Le théorème a de nombreuses applications différentes, tant en ce qui concerne le monde scientifique que la vie quotidienne des personnes.
Ses conséquences sont présentes dans la résistance des avions, dans les cheminées de maisons et d’industries, dans les conduites d’eau, entre autres domaines.
Équation de Bernoulli
Bien que ce soit Bernoulli qui en ait déduit que la pression diminue lorsque la vitesse d'écoulement augmente, la vérité est que c'est Leonhard Euler qui a développé l'équation de Bernoulli sous la forme dans laquelle elle est actuellement connue.
En tout cas, l'équation de Bernoulli, qui n'est autre que l'expression mathématique de son théorème, est la suivante:
v2 / 2 + P + g ∙ z = constant
Dans cette expression, v est la vitesse du fluide dans la section considérée, est la densité du fluide, P est la pression du fluide, g est la valeur de l'accélération de la pesanteur et z est la hauteur mesurée dans la direction de gravité.
Dans l'équation de Bernoulli, il est implicite que l'énergie d'un fluide est constituée de trois composants:
- une composante cinétique, qui résulte de la vitesse à laquelle le fluide se déplace.
- une composante potentielle ou gravitationnelle, due à la hauteur à laquelle se trouve le fluide.
- Une énergie de pression, qui est ce que le fluide possède en conséquence de la pression à laquelle il est soumis.
D'autre part, l'équation de Bernoulli peut également être exprimée comme suit:
v 1 2 ƿ ƿ / 2 + P 1 + g ∙ z 1 = v 2 2/2 + P 2 + g ∙ z 2
Cette dernière expression est très pratique pour analyser les changements qu’un fluide subit lorsque l’un des éléments constitutifs de l’équation change.
Formulaire simplifié
À certaines occasions, le changement du terme ρgz de l'équation de Bernoulli est minime par rapport à celui des autres termes, il est donc possible de le négliger. Par exemple, cela se produit dans les courants qu'un avion éprouve en vol.
À ces occasions, l'équation de Bernoulli est exprimée comme suit:
P + q = P 0
Dans cette expression, q est la pression dynamique et égale à 2 ƿ / 2, et P 0 est ce que l’on appelle la pression totale et est la somme de la pression statique P et de la pression dynamique q.
Les applications
Le théorème de Bernoulli a de nombreuses et diverses applications dans des domaines aussi variés que la science, l'ingénierie, le sport, etc.
Une application intéressante est trouvée dans la conception des cheminées. Les cheminées sont construites en hauteur de manière à obtenir une plus grande différence de pression entre la base et la sortie de la cheminée, grâce à laquelle il est plus facile d'extraire les gaz de combustion.
Bien entendu, l'équation de Bernoulli s'applique également à l'étude du mouvement des écoulements de liquide dans les conduites. Il découle de l'équation qu'une réduction de la section du tuyau afin d'augmenter la vitesse du fluide le traversant implique également une diminution de la pression.
L'équation de Bernoulli est également utilisée dans l'aviation et dans les véhicules de Formule 1. Dans le cas de l'aviation, l'effet Bernoulli est à l'origine du support d'avion.
Les ailes de l’avion sont conçues dans le but d’obtenir un plus grand débit d’air dans la partie supérieure de l’aile.
Ainsi, dans la partie supérieure de l'aile, la vitesse de l'air est élevée et, par conséquent, la pression la plus faible. Cette différence de pression produit une force dirigée verticalement vers le haut (force de portance) qui permet aux aéronefs de se tenir dans les airs. Un effet similaire est obtenu dans les ailerons des voitures de Formule 1.
Exercice déterminé
À travers un tuyau de section transversale de 4, 2 cm2, un courant d'eau s'écoule à 5, 18 m / s. L'eau descend d'une hauteur de 9, 66 m à un niveau inférieur avec une hauteur de zéro, tandis que la surface transversale du tube augmente jusqu'à 7, 6 cm2.
a) Calcule la vitesse du débit d'eau dans le niveau inférieur.
b) Déterminez la pression dans le niveau inférieur en sachant que la pression dans le niveau supérieur est de 152 000 Pa.
La solution
a) Etant donné que le flux doit être conservé, il est satisfait que:
Q niveau supérieur = Q niveau inférieur
v 1 S 1 = v 2 . S 2
5, 18 m / s. 4, 2 cm2 = v 2 . 7, 6 cm ^ 2
Clearing, vous obtenez cela:
v 2 = 2, 86 m / s
b) En appliquant le théorème de Bernoulli entre les deux niveaux et en tenant compte du fait que la densité de l'eau est de 1000 kg / m3, on obtient que:
v 1 2 ƿ ƿ / 2 + P 1 + g ∙ z 1 = v 2 2/2 + P 2 + g ∙ z 2
(1/2). 1000 kg / m3. (5, 18 m / s) 2 + 152 000 + 1000 kg / m3. 10 m / s2. 9, 66 m =
= (1/2). 1000 kg / m3. (2, 86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m3. 10 m / s2. 0 m
Clearing P 2 vous permet de:
P 2 = 257926, 4 Pa
