Gradient potentiel: caractéristiques, calcul et exemple

Le gradient de potentiel est un vecteur qui représente la relation de changement du potentiel électrique par rapport à la distance dans chaque axe d'un système de coordonnées cartésien. Ainsi, le vecteur de gradient de potentiel indique la direction dans laquelle la vitesse de changement du potentiel électrique est plus grande, en fonction de la distance.

À son tour, le module de gradient de potentiel reflète le taux de variation de la variation de potentiel électrique dans une direction donnée. Si la valeur de ceci est connue en chaque point d'une région spatiale, alors le champ électrique peut être obtenu à partir du gradient de potentiel.

Le champ électrique est défini comme un vecteur, avec lequel il a une direction et une magnitude spécifiques. En déterminant la direction dans laquelle le potentiel électrique diminue plus rapidement - en s'éloignant du point de référence - et en divisant cette valeur par la distance parcourue, on obtient la magnitude du champ électrique.

Caractéristiques

Le gradient de potentiel est un vecteur délimité par des coordonnées spatiales spécifiques, qui mesure la relation de changement entre le potentiel électrique et la distance parcourue par ce potentiel.

Les caractéristiques les plus remarquables du gradient de potentiel électrique sont détaillées ci-dessous:

1- Le gradient de potentiel est un vecteur. Par conséquent, il a une ampleur et une direction spécifiques.

2- Etant donné que le gradient de potentiel est un vecteur dans l’espace, il a des grandeurs indiquées dans les axes X (largeur), Y (haut) et Z (profondeur), si le système de coordonnées cartésien est pris comme référence.

3- Ce vecteur est perpendiculaire à la surface équipotentielle au point d'évaluation du potentiel électrique.

4- Le vecteur de gradient de potentiel est dirigé vers la direction de la variation maximale de la fonction de potentiel électrique en tout point.

5- Le module du gradient de potentiel est égal à celui dérivé de la fonction de potentiel électrique par rapport à la distance parcourue dans la direction de chacun des axes du système de coordonnées cartésien.

6- Le gradient de potentiel a une valeur nulle dans les points stationnaires (maximum, minimum et points de selle).

7- Dans le système international d'unités (SI), les unités de mesure du gradient potentiel sont les volts / mètres.

8- La direction du champ électrique est la même dans laquelle le potentiel électrique diminue plus rapidement en amplitude. À son tour, le gradient potentiel pointe dans la direction dans laquelle le potentiel augmente sa valeur par rapport à un changement de position. Ensuite, le champ électrique a la même valeur que le gradient de potentiel, mais avec le signe opposé.

Comment le calculer?

La différence de potentiel électrique entre deux points (points 1 et 2) est donnée par l'expression suivante:

Où:

V1: potentiel électrique au point 1.

V2: potentiel électrique au point 2.

E: magnitude du champ électrique.

Ѳ: angle de l'inclinaison du vecteur champ électrique mesurée par rapport au système de coordonnées.

En exprimant ladite formule de manière différentielle, on en déduit:

Le facteur E * cos () fait référence au module de la composante du champ électrique dans la direction de dl. Soit L l’axe horizontal du plan de référence, puis cos () = 1, comme ceci:

Dans ce qui suit, le quotient entre la variation du potentiel électrique (dV) et la variation de la distance parcourue (ds) est le module du gradient de potentiel pour ledit composant.

Il s'ensuit que l'amplitude du gradient de potentiel électrique est égale à la composante du champ électrique dans la direction de l'étude, mais avec le signe opposé.

Cependant, l'environnement réel étant tridimensionnel, le gradient de potentiel en un point donné doit être exprimé par la somme de trois composantes spatiales sur les axes X, Y et Z du système cartésien.

En décomposant le vecteur de champ électrique en ses trois composantes rectangulaires, nous obtenons les éléments suivants:

S'il existe une région dans le plan dans laquelle le potentiel électrique a la même valeur, la dérivée partielle de ce paramètre par rapport à chacune des coordonnées cartésiennes sera égale à zéro.

Ainsi, aux points situés sur des surfaces équipotentielles, l’intensité du champ électrique sera nulle.

Enfin, le vecteur de gradient de potentiel peut être défini comme étant exactement le même vecteur de champ électrique (en magnitude), avec un signe opposé. Ainsi, nous avons les éléments suivants:

Exemple

À partir des calculs ci-dessus, vous devez:

Cependant, avant de déterminer le champ électrique en fonction du gradient de potentiel, ou inversement, il faut d'abord déterminer la direction dans laquelle la différence de potentiel électrique augmente.

Ensuite, le quotient de la variation du potentiel électrique et de la variation de la distance nette parcourue est déterminé.

De cette manière, on obtient la magnitude du champ électrique associé, qui est égale à la magnitude du gradient de potentiel dans cette coordonnée.

Exercice

Il existe deux plaques parallèles, comme indiqué dans la figure suivante.

Étape 1

La direction de la croissance du champ électrique sur le système de coordonnées cartésien est déterminée.

Le champ électrique ne grandit que dans le sens horizontal, compte tenu de la disposition des plaques parallèles. Par conséquent, il est possible de déduire que les composantes du gradient de potentiel sur l’axe des Y et l’axe des Z sont nulles.

Étape 2

Les données d'intérêt sont discriminées.

- Différence de potentiel: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.

- Différence de distance: dx = 10 centimètres.

Pour garantir la congruence des unités de mesure utilisées conformément au Système international d'unités, les quantités non exprimées en SI doivent être converties en conséquence. Ainsi, 10 centimètres équivaut à 0, 1 mètre et enfin: dx = 0, 1 mètre.