Analyse dimensionnelle: techniques, principe d'homogénéité et exercices

L' analyse dimensionnelle est un outil largement utilisé dans différentes branches de la science et de l'ingénierie pour mieux comprendre les phénomènes impliquant la présence de différentes grandeurs physiques. Les grandeurs ont des dimensions et en déduisent les différentes unités de mesure.

L'origine du concept de dimension se trouve chez le mathématicien français Joseph Fourier, qui l'a inventé. Fourier a également compris que, pour que deux équations soient comparables, elles doivent être homogènes en ce qui concerne leurs dimensions. Autrement dit, vous ne pouvez pas ajouter de compteurs avec des kilogrammes.

Ainsi, l’analyse dimensionnelle est chargée d’étudier les grandeurs, les dimensions et l’homogénéité des équations physiques. Pour cette raison, il est fréquemment utilisé pour vérifier les relations et les calculs, ou pour construire des hypothèses sur des questions complexes pouvant ensuite être testées expérimentalement.

De cette manière, l’analyse dimensionnelle est un outil idéal pour détecter les erreurs dans les calculs lors du contrôle de la congruence ou de l’incongruence des unités utilisées, en mettant particulièrement l’accent sur les unités des résultats finaux.

De plus, l'analyse dimensionnelle est utilisée pour projeter des expériences systématiques. Cela permet de réduire le nombre d'expériences nécessaires et de faciliter l'interprétation des résultats obtenus.

L’un des fondements fondamentaux de l’analyse dimensionnelle est qu’il est possible de représenter n’importe quelle quantité physique en tant que produit des puissances d’une quantité plus petite, appelées quantités fondamentales dont dérivent les autres.

Grandeurs fondamentales et formule dimensionnelle

En physique, les grandeurs fondamentales sont considérées comme celles qui permettent à d'autres de s'exprimer en fonction de celles-ci. Par convention, on a choisi: la longueur (L), le temps (T), la masse (M), l’intensité du courant électrique (I), la température (θ), l’intensité lumineuse (J) et la quantité de substance (N).

Au contraire, le reste est considéré comme des quantités dérivées. Certains d'entre eux sont: la zone, le volume, la densité, la vitesse, l'accélération, entre autres.

Il est défini comme une formule dimensionnelle de l'égalité mathématique qui présente la relation qui se produit entre une quantité dérivée et les valeurs fondamentales.

Techniques d'analyse dimensionnelle

Il existe plusieurs techniques ou méthodes d'analyse dimensionnelle. Les deux plus importants sont les suivants:

Méthode de Rayleigh

Rayleigh, qui était à côté de Fourier, l’un des précurseurs de l’analyse dimensionnelle, a mis au point une méthode directe et très simple nous permettant d’obtenir des éléments sans dimension. Dans cette méthode, les étapes suivantes sont suivies:

1- La fonction de caractère potentielle de la variable dépendante est définie.

2- Chaque variable est modifiée par ses dimensions correspondantes.

3- Les équations de la condition d'homogénéité sont établies.

4- Les inconnus np sont corrigés.

5- Remplacez les exposants calculés et fixés dans l'équation potentielle.

6- Déplacez les groupes de variables pour définir les nombres sans dimension.

Méthode de Buckingham

Cette méthode est basée sur le théorème de Buckingham ou théorème pi, qui stipule ce qui suit:

S'il existe une relation à un niveau dimensionnel homogène entre un nombre "n" de grandeurs physiques ou de variables où "p" différentes dimensions fondamentales apparaissent, il existe également une relation d'homogénéité entre n-p, groupes sans dimension indépendants.

Principe d'homogénéité dimensionnelle

Le principe de Fourier, également appelé principe d'homogénéité dimensionnelle, affecte la structuration correcte des expressions qui relient des grandeurs physiques algébriquement.

C’est un principe qui a une cohérence mathématique et qui stipule que la seule option consiste à soustraire ou à additionner des grandeurs physiques de même nature. Par conséquent, il n'est pas possible d'ajouter une masse avec une longueur, ni un temps avec une surface, etc.

De même, le principe stipule que, pour que les équations physiques soient correctes au niveau dimensionnel, les termes totaux des membres des deux côtés de l'égalité doivent avoir la même dimension. Ce principe permet de garantir la cohérence des équations physiques.

Principe de similitude

Le principe de similitude est une extension du caractère d'homogénéité au niveau dimensionnel des équations physiques. Il est indiqué comme suit:

Les lois physiques restent inchangées contre le changement des dimensions (taille) d'un fait physique dans le même système d'unités, qu'il s'agisse de changements de caractère réel ou imaginaire.

L'application la plus claire du principe de similarité est donnée dans l'analyse des propriétés physiques d'un modèle fabriqué à une plus petite échelle, afin d'utiliser ultérieurement les résultats dans l'objet à la taille réelle.

Cette pratique est fondamentale dans des domaines tels que la conception et la fabrication d’aéronefs et de navires et dans les grands ouvrages hydrauliques.

Les applications

Parmi les nombreuses applications de l'analyse dimensionnelle, nous pouvons souligner celles énumérées ci-dessous.

- Localiser les erreurs possibles dans les opérations effectuées

- Résoudre des problèmes dont la résolution présente des difficultés mathématiques insurmontables.

- Concevoir et analyser des modèles à une échelle réduite.

- Faites des observations sur l'influence des modifications possibles dans un modèle.

De plus, l'analyse dimensionnelle est assez fréquemment utilisée dans l'étude de la mécanique des fluides.

La pertinence de l'analyse dimensionnelle en mécanique des fluides est due à la difficulté d'établir des équations dans certains écoulements ainsi qu'à la difficulté de les résoudre. Il est donc impossible d'obtenir des relations empiriques. Pour cette raison, il est nécessaire de recourir à la méthode expérimentale.