Le théorème de Torricelli: en quoi consiste-t-il, des formules et des exercices résolus

Le théorème de Torricelli ou principe de Torricelli stipule que la vitesse du liquide sortant du trou dans la paroi d'une citerne ou d'un conteneur est identique à celle permettant d'acquérir un objet qui est autorisé à tomber librement d'une hauteur égale à celle de la surface. Libre du liquide au trou.

Le théorème est illustré dans la figure suivante:

En raison du théorème de Torricelli, nous pouvons alors affirmer que la vitesse de sortie du liquide à travers un orifice situé à la hauteur h en dessous de la surface libre du liquide est donnée par la formule suivante:

Où g est l'accélération de la pesanteur et h la hauteur du trou à la surface libre du liquide.

Physicien et mathématicien, Evangelista Torricelli est né en 1608 à Faenza, en Italie. On attribue à Torricelli l'invention du baromètre à mercure et la reconnaissance d'une unité de pression appelée "torr", équivalente à un millimètre de mercure. (Hg mm).

Démonstration du théorème

Dans le théorème de Torricelli et dans la formule donnant la vitesse, il suppose que les pertes par viscosité sont négligeables, tout comme en chute libre, on suppose que les frottements dus à l'air qui entoure l'objet qui tombe sont insignifiants.

L’hypothèse ci-dessus est raisonnable dans la plupart des cas et implique également la conservation de l’énergie mécanique.

Pour prouver le théorème, nous allons d'abord trouver la formule de vitesse pour un objet libéré avec une rapidité initiale nulle, à partir de la même hauteur que la surface du liquide dans le réservoir.

Le principe de conservation de l’énergie sera appliqué pour obtenir la vitesse de l’objet qui tombe au moment où une hauteur h égale à celle du trou à la surface libre est descendue.

Comme il n’ya pas de pertes par frottement, il est valable d’appliquer le principe de conservation de l’énergie mécanique. Supposons que l'objet qui tombe ait une masse m et que la hauteur h soit mesurée à partir du niveau de sortie du liquide.

Objet qui tombe

Lorsque l'objet est libéré d'une hauteur égale à celle de la surface libre du liquide, son énergie est uniquement potentielle gravitationnelle, car sa vitesse est nulle et donc son énergie cinétique est nulle. L'énergie potentielle Ep est donnée par:

Ep = mgh

Quand il dépasse le trou, sa hauteur est égale à zéro, alors l'énergie potentielle est égale à zéro. Elle n'a donc que l'énergie cinétique Ec donnée par:

Ec = ½ m v2

Puisque l'énergie est conservée Ep = Ec de ce qui est obtenu:

½ m v2 = mgh

Effacez la vitesse v vous obtenez la formule de Torricelli puis:

Liquide qui sort du trou

Ensuite, nous allons trouver la vitesse de sortie du liquide à travers l’orifice, afin de montrer qu’elle coïncide avec celle qui vient d’être calculée pour un objet qui tombe librement.

Nous nous baserons pour cela sur le principe de Bernoulli, qui n’est rien de plus que la conservation de l’énergie appliquée aux fluides.

Le principe de Bernoulli est formulé comme suit:

L'interprétation de cette formule est la suivante:

Le premier terme représente l'énergie cinétique du fluide par unité de volume
La seconde représente le travail effectué par la pression par unité de surface transversale
La troisième représente l'énergie potentielle gravitationnelle par unité de volume de fluide.

Si nous partons du principe qu’il s’agit d’un fluide idéal, dans des conditions non turbulentes et à vitesses relativement faibles, il est pertinent d’affirmer que l’énergie mécanique par unité de volume dans le fluide est constante dans toutes les régions ou sections de celui-ci.

Dans cette formule, V est la vitesse du fluide, ρ la densité du fluide, P la pression et z la position verticale.

Dans la figure ci-dessous, la formule de Torricelli basée sur le principe de Bernoulli est démontrée.

Nous appliquons la formule de Bernoulli sur la surface libre du liquide que nous désignons par (1) et dans le trou de sortie que nous désignons par (2). Le niveau de hauteur zéro a été choisi au ras du trou de sortie.

En supposant que la section transversale en (1) soit beaucoup plus grande qu'en (2), on peut alors supposer que le taux de descente du liquide en (1) est pratiquement négligeable.

Pour cette raison, V ₁ = 0 a été placé, la pression à laquelle le liquide est soumis en (1) est la pression atmosphérique et la hauteur mesurée à partir de l'orifice est h .

Pour la section de sortie (2), on suppose que la vitesse de sortie est v, la pression à laquelle le liquide est soumis à la sortie est également la pression atmosphérique et la hauteur de sortie est égale à zéro.

Les valeurs correspondant aux sections (1) et (2) dans la formule de Bernoulli sont remplacées et égalisées. L'égalité est valable parce que nous supposons que le fluide est idéal et qu'il n'y a aucune perte de friction visqueuse. Une fois que tous les termes ont été simplifiés, la vitesse au trou de sortie est obtenue.

L’encadré précédent montre que le résultat obtenu est le même que celui d’un objet qui tombe librement,

Exercices résolus

Exercice 1

I ) Le petit tuyau de sortie d'un réservoir d'eau se trouve à 3 m sous la surface de l'eau. Calculez la vitesse de sortie de l'eau.

Solution:

La figure suivante montre comment la formule de Torricelli s'applique à ce cas.

Exercice 2

II ) En supposant que le tuyau de sortie du réservoir de l'exercice précédent ait un diamètre de 1 cm, calculez le débit de sortie de l'eau.

Solution:

Le débit est le volume de liquide sortant par unité de temps et est calculé simplement en multipliant la surface de l'orifice de sortie par la vitesse de sortie.

La figure suivante montre les détails du calcul.