13 classes d'ensembles et exemples

Les classes d'ensembles peuvent être classées comme égales, finies et infinies, sous-ensembles, vides, disjointes ou disjonctives, équivalentes, unitaires, superposées ou se chevauchant, congruentes ou non congruentes, entre autres.

Un ensemble est une collection d'objets, mais de nouveaux termes et symboles sont nécessaires pour pouvoir parler de manière sensée des ensembles.

En langage ordinaire, la signification est donnée au monde dans lequel nous vivons en classant les choses. L'espagnol a beaucoup de mots pour de telles collections. Par exemple, "un troupeau d'oiseaux", "un troupeau de bétail", "un essaim d'abeilles" et "une colonie de fourmis".

En mathématiques, quelque chose de similaire est fait lorsque des nombres, des figures géométriques, etc. sont classés. Les objets de ces ensembles sont appelés éléments de l'ensemble.

Description d'un ensemble

Un ensemble peut être décrit en listant tous ses éléments. Par exemple,

S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S est l'ensemble dont les éléments sont 1, 3, 5, 7 et 9". Les cinq éléments de l'ensemble sont séparés par des virgules et répertoriés entre accolades.

Un ensemble peut également être délimité en présentant une définition de ses éléments entre parenthèses. Ainsi, l'ensemble S ci-dessus peut également s'écrire comme suit:

S = {nombres entiers impairs inférieurs à 10}.

Un ensemble doit être bien défini. Cela signifie que la description des éléments d'un ensemble doit être claire et non ambiguë. Par exemple, {personnes de grande taille} n'est pas un ensemble, car les gens ont tendance à être en désaccord avec ce que signifie "élevé". Un exemple d'un ensemble bien défini est

T = {lettres de l'alphabet}.

Types d'ensembles

1- jeux égaux

Deux ensembles sont identiques s'ils contiennent exactement les mêmes éléments.

Par exemple:

Si A = {Chant de l'alphabet} et B = {a, e, i, o, u}, on dit que A = B.
Par contre, les ensembles {1, 3, 5} et {1, 2, 3} ne sont pas identiques, car ils comportent des éléments différents. Ceci est écrit comme {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
L'ordre dans lequel les éléments sont écrits entre parenthèses n'a pas d'importance. Par exemple, {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
Si un élément apparaît plusieurs fois dans la liste, il n'est compté qu'une fois. Par exemple, {a, a, b} = {a, b}.

L'ensemble {a, a, b} n'a que les deux éléments a et b. La deuxième mention de a est une répétition inutile et peut être ignorée. Cela est généralement considéré comme une mauvaise notation lorsqu'un élément est répertorié plus d'une fois.

2- Ensembles finis et infinis

Les ensembles finis sont ceux dans lesquels tous les éléments de l'ensemble peuvent être comptés ou listés. Voici deux exemples:

{Nombre entier compris entre 2 000 et 2 005} = {2 001, 2 002, 2 003, 2 004}
{Nombres entiers compris entre 2 000 et 3 000} = {2 001, 2 002, 2 003, ..., 2 999}

Les trois points "..." dans le deuxième exemple représentent les 995 autres numéros de l'ensemble. Tous les éléments auraient pu être répertoriés, mais pour économiser de l'espace, des points ont été utilisés à la place. Cette notation ne peut être utilisée que si sa signification est parfaitement claire, comme dans cette situation.

Un ensemble peut aussi être infini - la seule chose qui compte, c'est qu'il est bien défini. Voici deux exemples d'ensembles infinis:

{Nombres pairs et entiers supérieurs ou égaux à deux} = {2, 4, 6, 8, 10, ...}
{Nombres entiers supérieurs à 2 000} = {2 001, 2 002, 2 003, 2 004, ...}

Les deux ensembles sont infinis, car quel que soit le nombre d'éléments que vous tentez d'énumérer, il y a toujours plus d'éléments dans l'ensemble qui ne peuvent pas être répertoriés, peu importe la durée de votre tentative. Cette fois, les points "..." ont une signification légèrement différente, car ils représentent une infinité d'éléments non répertoriés.

3- Ensembles de sous-ensembles

Un sous-ensemble fait partie d'un ensemble.

Exemple: Les hiboux sont un type particulier d'oiseau. Chaque hibou est donc également un oiseau. Dans le langage des ensembles, il est exprimé en disant que l'ensemble des hiboux est un sous-ensemble de l'ensemble des oiseaux.

Un ensemble S est appelé un sous-ensemble d'un autre ensemble T, si chaque élément de S est un élément de T. Ceci s'écrit:

S ⊂ T (Lire "S est un sous-ensemble de T")

Le nouveau symbole signifie «il s’agit d’un sous-ensemble de». Donc {hiboux} ⊂ {oiseaux} car chaque hibou est un oiseau.

Si A = {2, 4, 6} et B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, alors A ⊂ B,

Parce que chaque élément de A est un élément de B.

Le symbole ⊄ signifie «ce n'est pas un sous-ensemble».

Cela signifie qu'au moins un élément de S n'est pas un élément de T. Par exemple:

{Oiseaux} ⊄ {créatures volantes}

Parce qu'une autruche est un oiseau, mais elle ne vole pas.

Si A = {0, 1, 2, 3, 4} et B = {2, 3, 4, 5, 6}, alors A

Parce que 0 ∈ A, mais 0 B, on lit "0 appartient à l'ensemble A", mais "0 n'appartient pas à l'ensemble B".

4- Set vide

Le symbole Ø représente l'ensemble vide, c'est-à-dire celui qui ne contient aucun élément. Rien dans l'univers entier n'est un élément de Ø:

| Ø | = 0 et X ∉ Ø, peu importe ce que X peut être.

Il n'y a qu'un seul ensemble vide, car deux ensembles vides ont exactement les mêmes éléments, ils doivent donc être égaux.

5- Ensembles disjoints ou disjonctifs

Deux ensembles sont appelés disjoints s'ils n'ont pas d'éléments communs. Par exemple:

Les ensembles S = {2, 4, 6, 8} et T = {1, 3, 5, 7} sont disjoints.

6- ensembles équivalents

On dit que A et B sont équivalents s'ils ont le même nombre d'éléments qui les constituent, c'est-à-dire que le nombre cardinal de l'ensemble A est égal au nombre cardinal de l'ensemble B, n (A) = n (B). Le symbole pour désigner un ensemble équivalent est «».

Par exemple:
A = {1, 2, 3} donc n (A) = 3
B = {p, q, r}, donc, n (B) = 3
Par conséquent, A ↔ B

7- Ensembles unitaires

C'est un ensemble qui contient exactement un élément. En d'autres termes, il n'y a qu'un seul élément qui compose le tout.

Par exemple:

S = {a}
Soit B = {même un nombre premier}

Par conséquent, B est un ensemble unitaire car il n’ya qu’un nombre premier pair, c’est-à-dire 2.

8- Ensemble universel ou référentiel

Un ensemble universel est la collection de tous les objets dans un contexte ou une théorie particulière. Tous les autres ensembles de ce cadre constituent des sous-ensembles de l’universel, appelé avec la lettre majuscule et le curseur U.

La définition précise de U dépend du contexte ou de la théorie considérée. Par exemple:

Vous pouvez définir U comme l'ensemble de tous les êtres vivants de la planète Terre. Dans ce cas, l'ensemble de tous les félins est un sous-ensemble de U, l'ensemble de tous les poissons est un autre sous-ensemble de U.
Si nous définissons U comme l'ensemble de tous les animaux de la planète Terre, l'ensemble de tous les félins est un sous-ensemble de U, l'ensemble de tous les poissons est un autre sous-ensemble de U, mais l'ensemble de tous les arbres n'est pas un ensemble. sous-ensemble de U.