Triangle isocèle: caractéristiques, formule et surface, calcul

Un triangle isocèle est un polygone à trois côtés, deux d'entre eux ayant la même mesure et le troisième une mesure différente. Ce dernier côté s'appelle la base. En raison de cette caractéristique, ce nom lui a été donné, ce qui signifie en grec "jambes égales"

Les triangles sont des polygones considérés comme étant les plus simples en géométrie, car ils sont formés de trois côtés, de trois angles et de trois sommets. Ce sont ceux qui ont le moins de côtés et d'angles par rapport aux autres polygones, mais leur utilisation est très étendue.

Caractéristiques des triangles isocèles

Le triangle isocèle a été classé en utilisant la mesure de ses côtés comme paramètre, puisque deux de ses côtés sont congruents (ils ont la même longueur).

En fonction de l'amplitude des angles internes, les triangles isocèles sont classés comme suit:

Triangle isocèle rectangulaire : deux de ses côtés sont égaux. Un de ses angles est droit (90o) et les autres sont égaux (45o chacun)
Oboscule triangle isocèle : deux de ses côtés sont égaux. L'un de ses angles est obtus (> 90o).
Triangle aigu isocèle : deux de ses côtés sont égaux. Tous les angles sont aigus (<90 °), deux d'entre eux ayant la même mesure.

Composants

La médiane : est une ligne partant du milieu d'un côté et atteignant le sommet opposé. Les trois médianes se rencontrent à un point appelé centroïde ou centroïde.
La bissectrice : est un rayon qui divise l'angle de chaque sommet en deux angles de taille égale. C'est pourquoi on l'appelle axe de symétrie et ce type de triangles n'en a qu'un.
La bissectrice perpendiculaire : est un segment perpendiculaire au côté du triangle, qui prend naissance au milieu de celui-ci. Il y a trois médiatices dans un triangle et concourent en un point appelé circumcenter.
La hauteur : est la ligne qui va du sommet au côté opposé et cette ligne est également perpendiculaire à ce côté. Tous les triangles ont trois hauteurs, qui coïncident en un point appelé orthocentre.

Propriétés

Les triangles isocèles sont définis ou identifiés car ils possèdent plusieurs propriétés les représentant, issus des théorèmes proposés par les grands mathématiciens:

Angles internes

La somme des angles internes est toujours égale à 180o.

Somme des côtés

La somme des mesures de deux côtés doit toujours être supérieure à la mesure du troisième côté, a + b> c.

Côtés congruents

Les triangles isocèles ont deux côtés ayant la même mesure ou la même longueur; c'est-à-dire qu'ils sont congruents et que le troisième côté est différent de ceux-ci.

Angles congruents

Les triangles isocèles sont également appelés triangles isoangles, car ils ont deux angles qui ont la même mesure (congruents). Ceux-ci sont situés à la base du triangle, opposés aux côtés qui ont la même longueur.

Pour cette raison, le théorème qui établit que:

"Si un triangle a deux côtés congruents, les angles opposés à ces côtés le seront également." Par conséquent, si un triangle est isocèle, les angles de ses bases sont congruents.

Exemple:

La figure suivante montre un triangle ABC. En traçant sa bissectrice du sommet de l’angle B à la base, le triangle est divisé en deux triangles égaux à BDA et BDC:

Ainsi, l'angle du sommet B était également divisé en deux angles égaux. La bissectrice est maintenant le côté (BD) commun entre ces deux nouveaux triangles, alors que les côtés AB et BC sont les côtés congruents. C'est le cas de la congruence côté, angle, côté (LAL).

Cela montre que les angles des sommets A et C ont la même mesure, tout comme il est également possible de montrer que, puisque les triangles BDA et BDC sont congruents, les côtés AD et DC le sont également.

La hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice coïncident

La ligne tirée du sommet opposé de la base au centre de la base du triangle isocèle correspond à la fois à la hauteur, à la médiane et à la bissectrice, ainsi qu’à la bissectrice par rapport à l’angle opposé de la base.

Tous ces segments coïncident dans un qui les représente.

Exemple:

La figure suivante montre le triangle ABC avec un point milieu M qui divise la base en deux segments BM et CM.

Lorsque vous tracez un segment du point M au sommet opposé, vous obtenez par définition la médiane AM, qui est relative au sommet A et au côté BC.

Puisque le segment AM divise le triangle ABC en deux triangles égaux AMB et AMC, cela signifie que le cas de congruence de côté, angle, côté est présent et que, par conséquent, AM sera également la bissectrice de BÂC.

C'est pourquoi la bissectrice sera toujours égale à la médiane et inversement.

Le segment AM forme des angles qui ont la même mesure pour les triangles AMB et AMC; c'est-à-dire qu'elles sont complémentaires de telle sorte que la mesure de chacune d'elles sera:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180ème

2 _* Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o 2

Med. (AMC) = 90ème

On peut savoir que les angles formés par le segment AM par rapport à la base du triangle sont rectilignes, ce qui indique que ce segment est totalement perpendiculaire à la base.

Par conséquent, il représente la hauteur et la bissectrice, sachant que M est le milieu.

Par conséquent, la ligne droite AM:

Il représente la hauteur de la Colombie-Britannique.
C'est moyen.
Il est contenu dans la médiatrice de la Colombie-Britannique.
C'est la bissectrice de l'angle du sommet

Hauteurs relatives

Les hauteurs relatives aux côtés égaux ont également la même mesure.

Puisque le triangle isocèle a deux côtés égaux, leurs deux hauteurs respectives seront également égales.

Orthocentre, barycenter, incitatif et circumcenter coïncident

Comme la hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice par rapport à la base sont représentées au même moment par le même segment, l’orthocentre, l’encodeur centrocentrique et le circumcenter seront des points colinéaires, c’est-à-dire qu’ils seront sur la même ligne:

Comment calculer le périmètre?

Le périmètre d'un polygone est calculé par la somme des côtés.

Comme dans ce cas le triangle isocèle a deux côtés avec la même mesure, son périmètre est calculé avec la formule suivante:

P = 2 _* (côté a) + (côté b).

Comment calculer la hauteur?

La hauteur est la ligne perpendiculaire à la base, divise le triangle en deux parties égales en s'étendant jusqu'au sommet opposé.

La hauteur représente la jambe opposée (a), la moitié de la base (b / 2) de la jambe adjacente et le côté "a" représente l'hypoténuse.

En utilisant le théorème de Pythagore, vous pouvez déterminer la valeur de la hauteur:

a2 + b 2 = c 2

Où:

a 2 = hauteur (h).

b 2 = b / 2.

c 2 = côté a.

En substituant ces valeurs dans le théorème de Pythagore et en effaçant la hauteur, nous avons:

h 2 + ( b / 2) 2 = a 2

h 2 + b 2/4 = a 2

h 2 = a 2 - b 2/4

h = √ ( a 2 - b 2/4).

Si l'angle formé par les côtés congruents est connu, la hauteur peut être calculée avec la formule suivante:

Comment calculer la surface?

L'aire des triangles est toujours calculée avec la même formule, en multipliant la base par la hauteur et en divisant par deux:

Il existe des cas où seules les mesures de deux côtés du triangle et l'angle formé entre eux sont connus. Dans ce cas, il est nécessaire d’appliquer les rapports trigonométriques pour déterminer la surface:

Comment calculer la base du triangle?

Le triangle isocèle ayant deux côtés égaux, il est nécessaire de connaître au moins la mesure de la hauteur ou l'un de ses angles pour déterminer la valeur de sa base.

Connaissant la hauteur, le théorème de Pythagore est utilisé:

a2 + b2 = c2

Où:

a2 = hauteur (h).

c2 = côté a.

b2 = b / 2, est inconnu.

Nous éliminons b2 de la formule et nous devons:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Puisque cette valeur correspond à la moitié de la base, il faut la multiplier par deux pour obtenir la mesure complète de la base du triangle isocèle:

b = 2 _* (√ a2 - c2)

Dans le cas où seules la valeur de leurs côtés égaux et l'angle entre eux sont connus, la trigonométrie est appliquée, en traçant une ligne allant du sommet à la base divisant le triangle isocèle en deux triangles rectangles.

De cette façon, la moitié de la base est calculée avec:

Il est également possible que seules les valeurs de la hauteur et de l'angle du sommet opposées à la base soient connues. Dans ce cas, la trigonométrie permet de déterminer la base:

Des exercices

Premier exercice

Trouvez l'aire du triangle isocèle ABC, sachant que deux de ses côtés mesurent 10 cm et que le troisième côté mesure 12 cm.

La solution

Pour trouver l'aire du triangle, il est nécessaire de calculer la hauteur à l'aide de la formule de l'aire liée au théorème de Pythagore, car la valeur de l'angle formé entre les côtés égaux n'est pas connue.

Nous avons les données suivantes du triangle isocèle:

Côtés égaux (a) = 10 cm.
Base (b) = 12 cm.

Les valeurs de la formule sont remplacées:

Deuxième exercice

La longueur des deux côtés égaux d'un triangle isocèle mesure 42 cm, l'union de ces côtés formant un angle de 130o. Déterminez la valeur du troisième côté, l'aire de ce triangle et son périmètre.

La solution

Dans ce cas, les mesures des côtés et l'angle entre eux sont connus.

Pour connaître la valeur du côté manquant, c'est-à-dire la base de ce triangle, nous traçons une ligne qui lui est perpendiculaire, divisant l'angle en deux parties égales, une pour chaque triangle rectangle formé.

Côtés égaux (a) = 42 cm.
Angle () = 130o

Maintenant, par trigonométrie, la valeur de la moitié de la base est calculée, ce qui correspond à la moitié de l'hypoténuse:

Pour calculer la surface, il est nécessaire de connaître la hauteur de ce triangle qui peut être calculée par trigonométrie ou par le théorème de Pythagore, maintenant que la valeur de la base a déjà été déterminée.

En trigonométrie ce sera: